近年，「アクティブ・ラーニング」という学習法が注目を浴びている。ただ一方的に性質・定理を教授するだけでなく, 生徒たちが意見を出し合って学んだことを活かせる指導をするにあたり,『いつもと逆の考え』として生徒たちに教師役をやらせてみようと試みた。その一例として今回実施した授業を紹介する。
数学Aの図形分野では, 「角の二等分線の性質」や「方べきの定理」などの性質・定理が多く存在している。生徒たちからは,『どの定理を使って良いのかがわからなくなる』『ここで方べきの定理を使うの？』といった意見が毎年出てきていた。そこで今回は,問題を"解く"側ではなく"作る"側になることで,図形問題を解くための手法やどのように性質・定理が使われているのかを少しでも理解してほしいという目的で授業を実施した。
※この授業は,教科書(詳説数学A[啓林館])P.156まで指導した後に実施した。
アクティブ・ラーニングには『教室内でのグループディスカッション』が含まれるため,②の作業に該当する。また,⑤で『プレゼンテーション力』も育成できると考えている。
P.156の問題(１の(２))でα を求める際に, 「接弦定理」と「円に内接する四角形」の２つの性質を使っていた。このように,１つの定理だけでなく複数の性質・定理を使う問題が入試などでもよく出題されている。そこで,生徒たちだけでこのような問題を作らせてみようと考えた。(プリント配布)
～作問時のルール～
前回作問してもらった問題を解答させる。
～作問した問題を２つ紹介～
[１] 図の直線XYは,点Dで円と接している。PA=１, AB=２, BC=BD=４, ∠BDY=60°のとき,PCの長さを求めよ。
【使用した性質・定理】
接弦定理を用いて,△BCDが正三角形であることを導き,CD=４を求める。その後,方べきの定理からPCを求めればよい。
生徒たちの作った問題で正三角形を利用したものが多く見受けられた。やはり,１つの内角が60°であることや,長さが求められることが利用しやすかったのだと考えられる。また,60°であることを利用して余弦定理と絡めて長さを求めさせる問題を考えたグループもあった。
[２] 図のように,２点A,Cが円周上の点となっている△ABCがあり,円と辺AB,辺BCとの交点をD,Eとする。半直線CB上に,BP=８となる点Pをとり, 直線PDと辺ACとの交点をQとする。AD=５,BD=３,BE=２,∠ABC=72°のとき,次の問に答えよ。
(１) CEの長さを求めよ。
(２) ∠ABQの大きさを求めよ。
【使用した性質・定理】
(１)は方べきの定理を用いればよい。(２)は△ABCにおいてメネラウスの定理を用いてAQ:QCを求め,その結果がAB:BCと一致しているためBQが角の二等分線になっていることを利用する問題である。
この問題は,『どこかの問題集からもってきたのか？』と思うぐらい良い問題だと思った。他グループの生徒たちからも『これはすごい！』『こんな問題よく思いついたね』といった感想が出ていた。
この授業を行うことで,問題を"解く"側では見ることができない部分を知ることができたため,１つの問題に対する別視点を生徒たちに与えることができたと考える。また,作るためにはその部分の「知識」と「理解」が必要であり,『あの定理を使いたいのに,設定が理解できていないので上手く使えない』といった意見が多くみられた。やはり,その場の指導で「解けた」だけでは「理解した」に直結していないことが判明した。問題を自分で"作る"ことで,定理の設定や使用するための条件をしっかりと理解することができたと思われる。
また,自分たちで作った問題の解説を発表させることで,「どのようにすれば他の人を理解させることができる解説になるか？」を事前にしっかりと考えることになる。その結果,途中式をどのように残せばよいのかを考えるきっかけにもなりつつ,他の生徒たちの理解を深めることができるのではないかと思う。今後も適宜このような授業を実践できるようにしていきたい。
