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| 山口大学教育学部附属山口中学校 数学科 |
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１．はじめに
これは，ある生徒が数学の楽しさについて書いた感想の一部である。前半部に書かれている「一筆書きの規則」とは，偶点と奇点の数の関係により，一筆書きができるかどうかを判断できるというものである。この規則を見つけることができるのは，学級で数名しかいないような難しい課題である。しかし，多くの生徒が「楽しい」と感想に書いており，自分で規則を見つけることに楽しさを感じているのである。後半部には，「もしも世界で初めて自分で何かが見つけられたら…」と書いてある。生徒らしい「夢」であるとともに，そこに数学が「わくわく・どきどき」できる源があり，私たちが大切にしたい生徒の思いである。 本校数学科では，このような生徒の思いを実現できる授業を作りたいと考え，平成18年度より，生徒が直観で見つけたことがらを相手に論理的に説明する場面を意図的にしくむ授業づくりを研究し始めた。 今回の実践記録は，３年生の式の計算の利用において，「平方数表にひそむ規則」という課題をもとに実施したものである。 ２．指導のねらい 直観で規則を見つけるとは，偶然や試行錯誤で見つけることから，過去の経験を活用して数学的な思考を働かせて見つけることまで幅広くとらえている。自分が考えていることが正しいことを相手に伝えるためには，根拠をもって，筋道を立てて論ずるのが数学での表現である。ここでは，自分の考えが一般的に正しいかどうかを文字式で論をたてる。次に，見通しをもって文字を適切においたり，根拠が分かるように式変形をしたりして説明方法を考えていく。これら，一連の流れの中で文字式を使いこなしていくのである。
文字式の学習では，次の２つのことを大切にしたい。一つは，項の数が増えたり，次元があがったりして，より複雑な文字式の世界になっても加減乗除が成立するという数学の体系を垣間見せることである。もう一つは，文字式が数の一般化されたものであることを活用して，数の関係を証明させることである。ここでは，後者を中心として学ばせたい。 そこで本時は，まず，生徒が考えたくなるような自由度の高い課題を与え，「自ら見つけた」という意欲付けを図る。次に，「なぜ，そのようなことが全ての数でいえるのか」と投げかけることで，直観で考えた規則に，文字式で理を与えることを考えさせる。さらに，自分の考えを相手に伝える体験を持たせ，そのやりとりの中で，説明の言葉や内容を研ぎ澄ましていく。このような活動の中で，文字式を使いこなす力をつけさせたい。 ３．授業の実際
右は，生徒Ａのワークシートの一部である。この生徒も，課題の表の下に増加量を確認した後がある。また，「最初から２ずつたしていく」と書いてあるのは，平方数の増加量のことである。 ある程度時間をおいて，気づいたことを発表させた。この学級では，平方数の増加量については，「増加量の増加量（第二階差）が２であること」なども，言い方は違っても同じ内容であることをおさえ，「ア 連続する数の平方数の差は奇数である」とまとめた。ワークシートの【友達の考え】にかいてあるのは，この板書を写したものである。 続けて，他に気づいたことを発表させた。ここで，生徒Ａが自分のワークシートに書いてある左上の考え方を発表した。言い方が難しかったので，この生徒は，小さい数を「△」，その平方数を「○」，連続する数を「☆」とおいて，「☆」の平方数との関係「☆の平方数＝△＋☆＋○」を発表した。多くの生徒は，「えっ？」と言うような表情を浮かべた後，「本当かな？」と数の関係を調べ始めた。「本当だ」「すごい」のような生徒の声を受けて，この生徒Ａの視点の持ち方を評価し，「イ 連続する２数と小さい数の平方数の和は，大きい方の数の平方数に等しい」とまとめた。
ある程度の時間をおいて，「友達と話し合ってもよい。ただし，自分の見つけた規則を分かりやすく相手に説明すること」と指示した。相手に分かりやすく表現することが，数学の力を伸ばす一つの要素になると考えているからである。あちらこちらで，写真のように話し合う姿が見られ，時々「すごい」「本当だ!」の声が聞かれたのが印象的であった。 しばらくして，他の規則を発言させた。そこででてきたのが，先のワークシートにある「ウ １つとばしの数の積に１を加えると，その間の数の平方数に等しい」である。まだまだ，発表し足りないという生徒の感じを残しながら，証明へと移った。 次に，「なぜそうなるのか」を考えさせた。すべての数について成り立つことを言うためには，文字による証明が必要になることを確認し，「ア 連続する数の平方数の差は奇数である」を使って，教師主導で証明の書き方を確認した。数式の文字式による証明が最初の時間となっており，書き方の指導が必要であったからである。 続けて，「イ」「ウ」についても類題として，取り組ませた。遅れがちな生徒には，「何を文字におけばよいのか？」などと問いながら，個別指導にあたった。途中，早くできた生徒には，「自分が見つけた規則を証明しなさい」と指示を出した。最後に，数名の生徒に「イ」と「ウ」の証明をかかせ，全員で証明の書き方を確認した。各自で見つけた規則の証明については，「数学レポート」として，後日提出してもよいことを告げ，授業を終えた。
５．おわりに 今回の授業は，式の計算の利用の２時間目に実施した。前時は，「道幅一定の面積は，道幅の長さとセンターラインの長さの積である」という，図形の証明への活用を実施した。数式への活用は最初の時間であり，どうしても証明の書き方の指導を入れなければならなかったことが悔やまれる。それがはいることで，「生徒が見つけた規則を皆で楽しむ」「自分が見つけた規則を相手に理づめで説明する」という二つの活動が中途半端に終わってしまったからである。次回の実施では，この点を改善して望みたい。今回は，「○○であることを証明しなさい」ではなく，自ら見つけた規則を自分で証明するところにポイントがある。このような教材の提示方法は，教師の考え方ひとつでつくられるものである。例えば，「奇数の並びから規則を見つけよう」とするだけでも，数の関係の見方を２数・３数・４数…というように数の個数に着目したり，たす・ひく・かけるなどの演算に着目したりするなど，目のつけどころを変えることにより，多くの規則を見つけることのできる課題となる。例えば，単純に２数の差に着目した場合は，「増加量２」という規則しか見つけることができないが，差を和にかえたり，積にかえたりすることで「たすと４の倍数」「積に１を加えると２乗の数」という規則を見つけることができる。さらに，２数を３数にふやすと，まん中の数と両端の数の関係を見つけることもできる。また，数の並びを偶数や自然数に変えて発展させても，多くの規則を見つけることのできる課題へと発展する。 本校では，生徒たちにこのような，直観に理を与える経験を繰り返し積ませることで，現実の場面でも，論理的に考えることを楽しみ，相手に自分の考えを理論整然と表現できる生徒になることを願っている。そのためには，「思わず考えたくなるような」教材開発と共に，生徒の思考を促す教師の指導技術も向上しなければならないと感じている。 |
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