自ら課題を見つけ，自ら学び，自ら考える能力を高めるためには，どのように教材を組織し指導したらよいか。
～ 中学３年数学 「式の展開と因数分解」 小単元「式の計算の利用」 ～
条件がえ 共通したものを見つける
仮説１ 単元を構成するときに大切にすること
仮説２ １時間の授業を考えるときに大切にすること
これまでの学習の中にあるプロセスをモデルとして問題を作り出す
児童・生徒が主体的に取り組む。
自分で問題解決ができる。
（解決の方法を見つける，既習内容をあてはめる，自分で学習を進める）
ととらえ，1時間の中では，この３つの中から１つに焦点を絞って，授業展開を考える。
仮説３ 1時間の授業のまとめの場面を考えるときに大切にすること
共通したことを見つけ出し，ポイントを押さえることまで見通して指導計画を立てる。授業の終末に解決した結果を整理することで，一般化できることに気づいたり，数や図形の性質や問題の構造をよりよく理解できるようになったりし，学習してきたことを価値づけることにつながる。このことは，さらに自ら課題を見つけ学習していく学習意欲につながると考える。
（１） 小単元 「式の計算の利用」 （中学３年）を計画するにあたって，仮説に関わり，次のことを大切にして単元を構成した。
仮説１に関わって
仮説２に関わって
仮説３に関わって
（２）単元展開
小単元 「式の計算の利用」 （中学３年）
| 時数 | 項 | 学習内容 | |
|---|---|---|---|
| ２ | 計算の工夫 | ①因数分解や展開を利用した計算 | |
| ②式の値の計算 | |||
| ５ | 数や図形の性質 | 数の性質の証明 ※ | ①となりあう２つの偶数の積に１を足した数は… |
| ②となりあう２つの奇数の場合はどうなるだろう… | |||
| 図形の性質の証明 | ③道の面積＝道の真ん中を通る円周×道幅 | ||
| 数表の性質 ※ | ④カレンダーの数表１ 「自ら課題を見つける」に焦点を絞る |
||
| ⑤カレンダーの数表２ （本時） 「自ら考える」に焦点を絞る |
|||
※は条件がえをして，課題を追究する授業
（１） モデルとなる問題
カレンダーは，どの部分を２×２の正方形で囲んでも，対角にある数の積の差は７になる。
５×11－４×12＝55－48＝７
９×15－８×16＝135－128＝７
のように，具体数で考えた後に，今までの学習を活かして文字を用いて成り立つことを説明する。
正方形の左上の数をｎとすると，残りの３つの数は右の表のように表される。対角にある数の積の差は，
(ｎ＋１)(ｎ＋７)－ｎ(ｎ＋８)＝ｎ２＋８ｎ＋７－ｎ２－８ｎ＝７
よって，その差は必ず７になる。
この問題をモデルとして，条件がえを行うことで，次のような扱いが考えられる。
（２） 条件がえ
① 囲む四角形をかえる
正方形を，長方形，ひし形，平行四辺形，等脚台形などにかえたときに，どのような法則が成り立つのかを調べる。
長方形 縦２×横３の場合
(ｎ＋２)(ｎ＋７)－ｎ(ｎ＋９)＝ｎ２＋９ｎ＋14－ｎ２－９ｎ＝14 より，差は必ず14になる。
平行四辺形 底辺２，高さ２の場合
(ｎ＋１)(ｎ＋６)－ｎ(ｎ＋７)＝ｎ２＋７ｎ＋６－ｎ２－７ｎ＝６ より，差は必ず６になる。
ひし形 対角線が縦２，横２の場合
(ｎ＋６)(ｎ＋８)－ｎ(ｎ＋14)＝ｎ２＋14ｎ＋48－ｎ２－14ｎ＝48 より，差は必ず48になる。
等脚台形
(ｎ＋１)(ｎ＋６)－ｎ(ｎ＋９)＝ｎ２＋７ｎ＋６－ｎ２－９ｎ＝６－２ｎ より，差は一定にならない。
このあと，それぞれの図形と差の法則とを比較することで，点対称な図形では差が一定になる，定数項の和が等しい時は差が一定になることなどがわかる。
② 囲む正方形（長方形）の大きさを変える
２×２の正方形のサイズを，２×３，２×４，…，３×３，４×４，…とかえていくことで，差の数がどのように変わっていくのかを調べる。
縦を２と固定して横の長さをかえると，右の表のようになる。一般化すると，２×ｍの長方形では，対角の数の積の差は，７(ｍ－１)となる。
同じように，横を固定して縦の長さを変えても，対角の数の積の差は，７(ｍ－１)となる。
これを，同じ表（行列）にまとめると，右のようになる。
長方形では，差はいつも一定になり，長方形の縦と横の長さによって差がいくつになるか決まる。
③ カレンダーの形をかえる
旧ソビエト連邦で使われていたカレンダーに，１週間が６日のものがある。このようなカレンダーを生徒に提示することで，カレンダーそのものを条件がえしようという意識が高まる。カレンダーをかえた時にも，モデルとなる問題と同じ性質が成り立つかどうか調べることで，数表の性質をより深く考察することができる。
また，週６日のカレンダーでも上記②の追究を進めると，２×ｍの長方形の場合，対角の積の差７（ｍ－１）が，６（ｍ－１）となる。共通する性質を見出すだけでなく，週○日によって生じる違いから，この数表の構造をより深く理解することもできる。
○今回の授業では，生徒の実態も踏まえ，「週６日のカレンダーの場合は，決まりはどうなるか」のように条件をかえ授業を行うことで，テーマに迫ることができるのではないかと考えた。
ソビエト連邦暦Ⅱ
（1931～1940）
９年 授業者 秋山拓也
教科名 数学 単元名 式の展開と因数分解
○ねらい
①これまでの学習の振り返り
②「自分が見つけた囲み方は，週６日のカレンダーでも差が一定になるのだろうか。」
【学習問題】
・文字式で考えればどうなるか分かるはずだよ
③「文字式を使って，差が一定になるのか説明してみよう」【学習課題】
・差の値が変わったけど，やっぱりどこで囲んでも差は一緒だ。
・週６日以外のカレンダーならどうなるのかな？
④「週○日のカレンダーでも同じことが言えるのか調べよう」
四隅の数を文字で表した式と差に，何か関係がないか着目させたい。
⑤気がついたことを発表しよう。
・週○日のカレンダーでも，差が一定になる。
・差の値は，必ず２番目と３番目の数の項の積になってるぞ！
⑥まとめ
どの囲み方でも，どんなカレンダーでも，四隅の数を文字で表したときの２番目と３番目の数の項の積が差になっている。
・予想される生徒の反応
○期待する反応や言葉
前時に通常のカレンダーを使って，「正方形で囲んだ四隅の数の対角の積の差は一定になる」ことから「他にも対角の積の差が一定になる囲み方があるのか？」を追究した。長方形や平行四辺形，ひし形などは差が一定になることを生徒たちは見つけていった。（右図参照）
本時ではまず，ソビエト連邦で使われていた週６日のカレンダーを提示し，前時に自分が見つけた「差が一定になる囲み方」は“週６日のカレンダーでも差が一定になるか？”を追究した。前時の囲み方を使って四隅の数を文字を使って表し，それぞれ確かめた。週６日カレンダーの日付が，１日後が１つ下，１週間後が１つ右になっているため，式で表すことにやや戸惑っている生徒がいたが，配ったカレンダーに具体的に囲んでみることで，正しく表すことができた。
＜平行四辺形で追究した生徒＞
週６日でも自分たちの囲み方は差が一定になることを確認したら，「週○日のカレンダーでも同じことが言えるか」を考え，生徒自身が「週○日のカレンダーなら…」と自由に設定して自分の囲み方について追究を進めた。週５日や４日，８日や10日などで追究する生徒が多かったが，中には週100日ならどうかと調べる生徒もおり，自ら考えて追究する姿が見られた。（週100日などの場合は31日以降もあるものとした数表をイメージして追究を進めることとした。）
追究時，机間支援で回っていったときにＡ生と以下のようなやりとりがあった。
＜週100日の追究をした生徒＞
Ａ生：「これ，いちいち計算しないといけないですか？」
Ｔ ：「どういうこと？」
Ａ生：「この対角の式の数の部分の和が等しいときは，もう差が一定になるんですよ」
Ｔ ：「確かにＡさんの図の場合は和が等しくて，差が一定だね。他の図でもそうなのかな？」
Ａ生は，繰り返し文字式の計算を繰り返すうちに，式に隠れているカラクリを見出し，「計算しなくても差が一定になるかどうか判断できる」ことに気がついている。さらには「四隅の数を文字で表したとき，２番目と３番目の式の数の項の積が，差になっている」ことにも気がついた。このＡ生の気づきを全体に広げ，誰のカレンダーでも，誰の囲み方でも共通する性質としてまとめをした。
＜Ａ生の学習カードでのやりとり＞
