私の実践・私の工夫（算数）
数学的な考え方を発揮する授業を目指して
１．はじめに
「数学的な考え方を発揮する」とは，子どもたちが既習の知識や技能，数学的な考え方を活用し，友だちとのかかわり合いを通して，新しい考えを生み出すことができることと捉え，課題解決への原動力となる興味や関心，意欲も含むものと考えている。
本時の「いくつかの部分の平均から，全体の平均を求める」学習においても，数学的な考え方が発揮できるよう，教材や指導を工夫して授業に取り組んだ。
２．教材について
生活と学習がつながる教材
子どもにとっての身近な平均の一つに，「平均点」がある。本時は子どもたちが取り組んでいる漢字の小テストの平均点を教材として取り上げた。１学期と２学期の漢字小テストの平均点を７点と９点に設定し，１，２学期合わせての平均点が合格点の８点に達しているかを考える。７点と９点の平均と考えて８点を平均点と考える子どもが多いことが予想される。しかし，テストの回数が異なると８点にならない。そこで「平均点が８点にならないのはなぜか」を考える。平均を求める式や平均と個数から合計を求める式など既習事項を活用して演繹的に正しい平均点を求めたり，図を利用して工夫して平均点を求めたり，１学期と２学期のテストの回数が同じ場合しか平均点が８点にならないことを説明したりすることができる。また，「あと３回のテストで，平均点が合格点の８点に達するためにはどうすればよいか」を考えさせる。部分の平均から全体の平均を求める復習になるだけでなく，日常生活や他教科でも，見通しをもって課題解決に取り組もうとする態度を育てることができると考える。このように，演繹的な考えや特殊化の考え，図形化の考えなどを発揮して正しい平均の求め方を考えることができる教材である。
３．指導について
○ 問題の与え方の工夫（条件不足の問題）
導入では，１学期と２学期のテストの回数は提示せず，平均点のみを提示して学習課題を与えることで，正しく平均を求めるために必要な条件を考えさせ，解決への見通しを持たせたい。
○ 数学的な考え方を生み出す工夫
授業の中のひらめきやつぶやきも含め，子どもが考えたことを子どもの言葉で目に見える形（アイデアカード）にして蓄積し掲示することで，ただ答えを出すことだけでなく，カードの中に使えそうな考えはないか，ほかにいい考えはないかなど，答えにたどり着くまでの考えを意識させたい。既に存在する「数学的な考え方」という枠を子どもに与えるのではなく，子どもから数学的な考え方を生み出していきたい。
４．授業の実際
【第４時の目標】 いくつかの部分の平均から，全体の平均を求めることができる。
【学習課題をつかむ】
Ｔ：１学期と２学期の漢字小テストを合わせた平均点が８点以上の人は合格です。不合格の人は，昼休みに漢字の特訓をします。Ｋさんは合格でしょうか。
Ｃ：１学期の７点と２学期の９点の真ん中が８点だから，合格です。
Ｃ：９点の１点を７点に移したらちょうど８になるから，合格です。
Ｃ：（９＋７）÷２＝８で，平均が８点だから合格です。
Ｔ：Ｋさんは合格のようですね。Ｋさんも合格だと思ったんだけど，先生から「あなたは合格していません。」と言われました。おかしいね。どうしてかな。 Ｃ：１学期と２学期を合わせた平均点を求めるから，１学期と２学期を合わせた合計点から平均点を求めないといけないと思います。 Ｃ：例えば，１学期に10回テストをやっていて，２学期に２回テストやっていたら，平均点は８点よりも低くなると思います。 Ｔ：なるほど，Ｋさんは合格だと言い切れなくなってきたね。先ほどの平均の求め方は間違っているのかな。みんなで考えてみましょう。
【解決の見通しを持つ】
Ｔ：まずは，「Ｋさんは，なぜ不合格なのか」を考えてみましょう。何がわかれば，Ｋさんが不合格だということがわかるかな。 →解決への見通しを持たせる。
Ｃ：１学期と２学期のテストの回数がわかれば，わかると思います。
Ｔ：回数がわかればいいの？回数を知りたい？
Ｃ：知りたい。（多くの子どもがうなずく。）
Ｔ：なぜ？
Ｃ：さっき，○○さんも言ったけど，１学期と２学期のテストの合計点が知りたいので，合計点を求めるには，テストの回数がわからないとできないからです。
Ｔ:１学期のテストは12回でした。２学期は８回でした。これでわかるかな。考えてみよう。「平均点が８点だとおかしい」ということも言えたらいいね。
【解決の方法を考え，話し合う】
Ｔ：考えたことを発表してもらいましょう。
Ｃ：もし，１学期と２学期のテストが同じ回数だったら平均点が８点だけど，１学期の方が回数も多いし，平均点が低いので全部の平均点は８点より低くなります。
Ｔ：似た考え方の人はいますか。
Ｃ：平均点の低い１学期の回数が多いと合わせた平均点は真ん中の数の８点より小さくなるし，平均点の高い２学期の回数が多いと合わせた平均点は真ん中の数の８点より大きくなります。
図１
Ｔ：他には。
Ｃ：７×１２＝84 ９×８＝72
84＋72＝156 12＋８＝20
156÷20＝7．8
Ｋさんの平均点は7．8点だから不合格になります。（図１）
Ｔ：式の説明をしてくれないかな。
図２
Ｃ：７×12は（１学期の平均）×（回数）で１学期の合計点です。９×８は２学期の合計点です。84＋72は１学期と２学期の合計点になります。12＋８は全部の回数で，（全部の合計点）÷（全部の回数）で平均を出しました。
Ｃ：図で考えました。
（９－７）×８＝16 16÷20＝0．8
７＋0．8＝7．8 （図２）
【課題解決を振り返る】
Ｔ：平均を正しく求めるにはどうすればいいですか。
Ｃ：平均はやっぱり合計を個数で割らないと求まらないと思います。
Ｃ：１学期と２学期を合わせた平均点を求める時は，１学期と２学期を合わせた合計点を１学期と２学期を合わせた回数で割ります。
Ｔ：最初の（９＋７）÷２＝８の求め方は，何がいけなかったのでしょう。 →誤答を生かして理解を深める。
Ｃ：テストの回数を考えていないところです。
Ｃ：１学期と２学期の回数が同じだったらいいけど，回数が違うときには間違いになります。
Ｔ：回数が同じだったら，使えるんだね。回数が重要なんだね。このことを図で考えるとどうなるかわかるかな。９点や７点は？
→図との関連を図り，視覚的にも捉えるようにする。
Ｃ：長方形の縦の長さです。
Ｔ：では，横の長さは？
Ｃ：回数です。
Ｔ：全体をならすためには，縦の長さだけではなく，横の長さも考えないといけないのだね。
【課題を発展させる】
Ｔ：残念ながら，Ｋさんは不合格です。残念ですね。しかしなんと，２学期のテストはあと３回残っています。Ｋさんは，残り３回のテストでどんな点を取れば，合格できるでしょうか。
Ｃ：３回とも10点を取れば合格できます。
Ｔ：それ以外だと不合格かな。班のみんなで考えてみよう。
Ｔ：考えたことを発表してもらいましょう。
Ｃ：（10点，10点，10点）と（10点，10点，９点）と（10点，９点，９点）と（10点，10点，８点）です。
Ｔ：理由は？
Ｃ：もしも，３回とも９点だったとしたら，計算したら7．95…点になるから，３回のテストで27点では不合格になるから，28点とれば合格です。
Ｃ：テストは残り３回あるから，全部で23回。平均点が８点で合格だから，８×23＝184点 今までのテストの合計が156点だから184－156＝28 残り３回のテストで28点とれば合格になります。
５．指導を終えて
導入で，１学期と２学期のテストの回数を提示しないで学習課題を与えたことで，７点と９点の平均と考えて８点を平均点と考える子どもも多く，それが間違っていることに驚きを感じ，「なぜ違うのか」「どうすればいいのか」と意欲を持って課題に取り組む姿が見られた。また，「あと３回のテストで，平均点が合格点の８点に達するためにはどうすればよいか」という課題に対しても興味を持って取り組めていた。そのことが，グループや全体での活発な話合いにつながったと考えられる。式や図で表した自分の考えをわかりやすく伝えようとしたり，友達の考えた式や図を読み取ろうとしたりする姿が見られた。また，全体の話合いで，図を使って全体の平均を求める考え方が発表されると，視覚的に捉えることによさを感じたり，自分も図に表して考えてみようと思ったりした子どもが多かった。また，その図を使って，いくつかの部分の平均から全体の平均を求めるために重要な「個数」を視覚的に確認することができ，理解を深められたと考えられる。
ノートの感想には，友達の説明のわかりやすさに感心したことや図を使って考えてみたいということ，友達の考えとの違いや友達に説明して理解してもらえた喜びなどが書かれてあった。話合い活動を積極的に取り入れることで，自分の考えや説明を洗練したり，友達の説明を聞いて新たな考えを知ったり，生み出したりできると考える。
本時では，前時までに子どもが生み出した考えを活用することができた。（多い量を少ない量へ移す，合計＝平均×個数，例えば・・・，図で表す，もし～だったらなど）また，授業後に，ある子どもが授業の中で出てきた面積図のような図の名前を尋ねてきた。特に決まった名前がないことを告げると，「平均面積図」と名付けてくれたので，早速アイデアカードに加えた。次時からの子どもたちは，考え方を式で表すだけでなく，進んで図に表し，「平均面積図」という言葉を使って説明するようになった。
今後も子どもたちの考えを拾い上げてカードに表し，それらを以後の思考過程や説明で活用していく。そして，増えたカードの中から，「より多く」「いつでも」使えるカードを子どもたちと共に精選していきたい。このようにして，自分たちで生み出した数学的な考え方は，今後も進化し続け，生きて働く力になると考える。