既習内容の活用と多様な考え方のできる問題の一例
～三角形の移動と面積～

千葉県君津市　小松　一郎

１．数学離れ

数学の学習は学年を追う毎に抽象化，記号化，論理化，形式化されていき，日常生活の事象から離れて行く傾向があります。また，数学の勉強はするものの，日常的な問題を数学の問題として解決することが少なく，数学の活用場面があまり実感できないことも確かです。さらに，数学の学習は系統性が強いため，一つの単元でつまずくとその影響が後まで続くということも事実です。これらのことが生徒の数学離れを引き起こす要因の一つにもなっていると考えます。

そこで中学校の数学指導においては，そのようなことがないように，生徒の興味と理解を深め，概念形成をよりスムーズに行うために具体物を活用し，操作や実験を取り入れながら視覚的に生徒に訴えることが大切であると考えます。

２．既習内容の活用

生徒が数学に興味や関心を持ち，進んで考えてみようと思う要素はたくさん考えられますが，今回は「学習したことが活用できる」「解決の糸口がイメージできる」というところに視点を置き，数学の問題を考えてみました。

なお，参考文献としては学習指導要領解説（平成10 年度版）の課題学習の課題例を参考にしています。扱う学年としては３年生の終わりの時期になりますが，入試対策や入試後の楽しい数学学習の素材となるのではないでしょうか。ご一読ください。

３．実際の問題の具体例

４．既習事項との関係と解決への思考イメージ

【①について】

・平行移動・作図・三角形の内角の和・二等辺三角形・正三角形

【②について】

・正三角形・三平方の定理（三辺の比）

なお，△ＡＳＰに着目した生徒は，正三角形ＡＳＰの一辺として，ＰＳの長さを考えることができるであろう。
ＰＳ＝ＡＰ＝ＢＱ＋ＱＣ＋ＣＲ

【③について】

・三平方の定理・三角形の面積の公式

【④について】

・文字の式の計算・三平方の定理・三角形の面積の公式・関数

【⑤について】

・二次関数・二次方程式

※点が動く問題は，関数の単元で学習しますが，生徒は証明と同様に苦手意識が強いようです。
その要因は，①授業での取り扱いが少なすぎる。②生徒の思考活動につながっていない。
③生徒が動きの全体像をイメージできるような指導が少ない。④生徒の思考は不連続な思考が中心となっており，なかなか連続という思考に慣れていない。などが挙げられると思います。
だからこそ，イメージしやすい問題を考えて，生徒の数学的な思考力を高める必要があると考えます。

【⑥について】

・円周角の定理の逆

※ここに挙げた具体例は，基本的には正三角形と三平方の定理が解決のポイントですが，解決の過程においては，色々な考え方ができる問題です。また，問題自体の意味は簡潔で，複雑な計算や考え方も要しないので，多くの生徒が取り組むことが可能でしょう。

５．発展的な扱い

次のように考えると，更に発展的に扱うこともできます。

（その１）ｘの変域を０≦ｘ≦５と指定せず，三角形が重なる部分の面積を扱うこともできる。
例えば，７秒後であれば

（その２）２枚の三角形の形を変えることも可能です。

６．最後に

論理的な思考力の育成や自ら課題を解決していこうとする態度の育成は，学習した数学的な考え方や見方を活用してこそ達成できるものです。それには，このような既習内容が活用できる学習を短いサイクルで取り組ませることが大切です。そのためにも数学の授業時数を十分確保する必要があります。

おもしろく，わかる数学を実践するためには，必要な授業時数をきちんと確保してほしいと思います。実際には，学校行事のために授業をカットしたり，部活動の時間を確保するために４５分授業を実施したりすることも見受けられますが，これは改善すべきであると考えます。

また，生徒数の減少に伴い，各県では高校の統廃合や学科の再編などが進んでいます。理数科の新設をする高校もありますが，中学校で数学のおもしろさや有用性をなかなか体験できない中では，理数科に進もうと考える生徒が増えていくのは，難しいのではないでしょうか。生徒が数学に興味や関心を持てる授業に向けて，この教材が少しでも参考になれば幸いです。