空間図形の授業展開
～知的好奇心の刺激＋バーチャルとリアルと頭の中を結びつける～

最初にデジタル教科書を使って，身の周りにある様々な建造物の例を紹介した。「その建造物が，おおよそどのような形をしているのか」という発問に対して，生徒達は活発に発言をした。そして，その立体の名称を確認し，実際の立体を見せた。やはり，身近にあるものを用いて導入を行うことは，数学が実生活と結びついていることを実感させるためにも大切である。

次に立体＝３Ｄが，どのように成り立っているかということに注目させた。「Ｄとは何のこと？」と聞くと，少し間があって「次元」と答える。（最近は映画やゲームの世界でもよく３Ｄが登場する）まずは，点が０Ｄであるということからスタートする。その０Ｄである点がたくさん集まって，１Ｄ＝線になる。次にその１Ｄである線がたくさん集まって，２Ｄ＝面となる。もちろん，３Ｄ＝立体（ここでの立体は，立方体や直方体をイメージすると分かりやすい）は２Ｄ＝面がたくさん集まってできている。「それでは４Ｄとはどんなものだろうか」という発問をし，生徒に目をつぶらせ，同じ要領で３Ｄをたくさん集めて４Ｄをイメージさせてみる。だいたい，１クラスに２，３人ぐらいの生徒が見えたという・・・。本当に４Ｄが見えているのか定かではないが，「ドラえもんの道具であるどこでもドアがたくさんつながっている」や「空間が連結しているようになっている」と言う生徒までいるから驚きである。

次元の話のあとで，「立方体（３Ｄ）を黒板（２Ｄ）に“上手に”かくには，どうしたらよいか」という課題を与え，生徒達は課題に取り組む。小学校の学習がいきていて，７割の生徒はポイントを押さえてかくことができるが，残りの３割の生徒は上手にかくことができない。右の図は，残念ながら上手にかけていない例である。ここでのポイントは主に二つあると私は考えている。

このポイントは小学校のときに学習しているが，忘れているもしくは定着していないという生徒も少なからず存在する。しかし，点線はかいてあっても上手く見えないといった例が右の図である。ただ単に雑ということも考えられるが，どこが雑でそしてどのようにしたら上手く見えるのだろうか。そこで，

実は，ポイント二つ目を押さえていない生徒が多い。このポイント二つ目を押さえれば，立方体のみならず様々な立体の見取り図がかけるようになる。

また，代数よりも幾何で特に重要なことに「図をかいて考える」ということがあげられる。幾何が苦手な生徒は，平面図形の範囲でも図をかくことが苦手である傾向が強い。中学一学年の空間図形では，下記（空間内の直線や平面の位置関係）にも示すように，立方体を用いて考える場面が多い。つまり立方体が短時間で上手にかけることは，中学一学年の空間図形を理解するために，大きなアドバンテージとなる。授業の中で，何回も立方体をかかせることで，生徒も少しずつ慣れて素早くかけるようになっていく。

上記の二つのポイントを押さえて，立方体のみならず○○柱や○○錐の見取り図をかいて，その名称や特徴を押さえる。そして，その立体をかいていくたびに，実際のものを見せて，頭の中を整理するという作業を繰り返していく。

小学校で学習する立体は，立方体や直方体などそれほど数が多くはないが，中学校ではたくさんの立体を学習する。それらの立体の名称の定着は，比較的よい。おそらく，日常生活で登場するからであろう。ここでは，その名称と初めて登場する概念である，多面体やその特殊な図形である正多面体の特徴の定着を目指した。具体的に授業で扱った特徴としては，どのような面の形をしているか・頂点の数はいくつか・辺の数はいくつか・一つの頂点に集まる面の数はいくつかなどである。（面の数・形と一つの頂点に集まる面の数から，実際に辺や頂点の数が数えにくい正十二面体・正二十面体の辺や頂点の数を計算した）また，見取り図や展開図については，正四面体・正六面体はもちろんのこと，正八面体までかかせた。正八面体までの見取り図や展開図をかかせた理由は，正四面体・正六面体・正八面体がよく問題として取り上げられるからである。また，見取り図をかくにあたって，難しい立体になればなるほど，上記で記述した立体を上手にかく二つのポイントが大切になってくる。

この範囲においてデジタル教科書を使うことにより，これらの立体を様々な角度から見せることができた。これは，奥の面がどのような形になっているかがイメージし難い生徒にとっては，大変有効だと思われる。デジタル教科書（バーチャル）と実際のものを見せたり作らせたりすることで頭を使い，理解を深めさせた。

ある展開図が与えられたときに，その展開図のどの頂点とどの頂点がくっついて，どのような立体になるかといった問題こそ，感覚に頼ってしまうところが大きい。頭の中ですぐに展開図から見取り図ができてしまう生徒にとっては，問題というよりは当たり前のことなのである。しかし，見取り図がイメージできない生徒にも何とかできるようにさせたい。ここでは，「展開図から蝶つがいのような頂点（面が集まっていて，もうこれ以上くっつかない頂点）を探して，その両どなりにくっつく頂点を見つけて同じ番号をつけていく」といった方法をとった。ここでも実際のもの（展開図やその展開図を組み立てたときにできる３Ｄの立体）とバーチャル（デジタル教科書にある展開図が見取り図となる動画）と頭の中（各頂点に番号をふる方法）を結びつけることを意識して，授業作りを行った。

右の図のような教具を用意した。作り方はいたってシンプルである。立方体の各辺に対して，色のついた割り箸をセロハンテープで固定する。もちろん，同じ色の割り箸は平行な関係になっている。また割り箸が，各辺より長くなっているのは，直線が無限に伸びていることをイメージしている。（可能ならば，立方体の各面が無限に広がっているイメージのものを作った方がいいのかもしれない）

立方体は身の周りにもたくさん似た形が存在し，生徒達にとってなじみ深いものであり，この割り箸つき立方体を作ることで，空間内における直線と直線・直線と平面・平面と平面の位置関係をイメージしやすくなる。

たとえば，「青色の割り箸と緑色の割り箸はどんな関係」などの発問ができ，ねじれの位置なども黒板の図を用いる方法よりこの教具を用いる方が説明しやすい。また，平面Ｐ上の交わる２直線にある直線ℓが垂直である，すなわち，直線ℓと平面Ｐが垂直であることも，上記の教具を使うことによって，垂直つまりは90°になっていることを生徒に見せやすいというメリットもある。さらに，右の図のノートのように空間内の直線と直線・直線と平面・平面と平面の位置関係が，この立方体ですべて表現できるという利点がある。

やはり，リアルなもの（割り箸つき立方体）とバーチャル（デジタル教科書やノートに書いた立方体のイメージ）と頭の中を結びつけることが大切である。繰り返しになるが，立方体を素早く上手にかけるスキルは身につけさせたいものである。