１．　はじめに

　中学２年生の「場合の数」についての授業実践報告をしたいと思います。「場合の数」で苦労する生徒たちも多いと思います。本来ならば高校１年生で習得する「集合論」を理解した上で「場合の数」に入っていくことが理想であると思います。

　しかし，中学では「集合論」は習わないため，なかなか定着しないと思っている中学校の先生方も多いのではないかと思います。私は，あえてこの定着しにくい「場合の数」についてお話したいと思います。

　また，本校は「６ヵ年一貫教育」を実践しており，本来ならば高校１年生の分野ですが， 中学校の段階で「順列・組合せ」も教えました。やを使わずに教えることは大変難し かったのですが，なんとか中学生にも「和の法則」，「積の法則」が理解できれば，高校の分野ではありますが「順列・組合せ」も定着させることができましたので参考にしていただければ幸いです。

２．　生徒の実態

　中学生の学力低下が叫ばれている中，特に数学については苦手意識の強い生徒が多いと思われる。しかし，本校において，課題などはしっかりとやってくる生徒が多いのは救いである。

　特に関数な図形の問題など，思考しなければいけないもの，また，創意工夫の必要な分野について苦手意識が強いと思われる。そこで，数学の中でも計算が主である場合の数について十分理解させることによって数学に興味をもたせたいと考えた。

３．　教材観（場合の数）

　２年生の数学では，連立方程式や１次関数など今後「関数」をしていくなかで必要な分野を学習するなかで，この場合の数においては「関数」という分野からは離れることになる。しかし，実社会でもこの「場合の数」が数多く使われていることを実感させたい。

４．　実践のねらい

【１時間目】 〜樹形図（tree）〜   　中学生にとって，「これから何をするのか？」「難しくないかぁ？」と不安に思っている生徒も多いと思いますので，まずは「場合の数」の最も基本になりますが，「数え上げる」ということをしました。これをすることによって，「なんだ！簡単だ！」と思わせることが大切であると思います。授業で取り扱った例を載せておきたいと思います。 〈 問題 〉   　，， の３枚のカードを並べ３けたの整数をつくるとき，整数は何通りできますか。 《 解答 》   樹形図(tree)を用いて数え上げる。 よって，６通りとなる。 　これくらいであれば，生徒は「簡単だ！」と思います。ただ，数え上げるときはもれなくするといったリスクもあるということを次の伏線としていっておきました。 【２・３時間目＋課題】 〜和の法則・積の法則〜   　さて，これからが本題といっても過言ではないでしょう。ここをしっかりおさえさすことが，これから彼らが確率を理解できるかどうかにかかってくると思います。まず，どの教科書，参考書にでも書いてあるような内容で説明しました。 和の法則　… 2つの事がらA，Bは同時に起こらないものとする。そして，Aの起こる場合の数が通り，Bの起こる場合の数が通りあるとき，AまたはBのいずれかが起こる場合の数は通りである。 積の法則　… 2つの事がらA，Bがあって，Aの起こる場合の数が通り，そのおのおのに対して，Bの起こる場合の数が通りあるとき，A，Bが同時に起こる場合の数は通りである。 　ここで，生徒たちにとって最もとらえにくいところは上の　　　部であると思います。この２つの　　　部を簡単な例で説明しました。 〈 例 〉 大，小２つのサイコロを同時になげるとき，次の問いに答えなさい。 （１） 出る目の和が９以上になるのは何通りありますか。 （２） 出る目の数が両方とも奇数であるのは何通りありますか。   [ 模範解答 ] 　樹形図（tree）を用いて解く生徒が多かったのですが，それはもれなく数え上げていれば OK ということで褒めておきました。しかし，今後は，何万通りといった答えもでてくることもあり，もれなく数え上げるには限界があることを伝え，何とか計算で解くということを薦めました。 （１） 出る目の和が９のとき， (大，小) ＝ (3 ，6) ，(4 ，5) ，(5 ，4) ，(6 ，3) の４通り ここもつまずくPointです。見た目は同じ数字ですので混乱します。大のサイコロが４のときと大のサイコロが５のときは１回サイコロを投げたところではどちらかしか起こらない。すなわち同時には起こらないということを強調すれば生徒たちは理解します。 出る目の和が10のとき， (大，小) ＝ (4 ，6) ，(5 ，5) ，(6 ，4) の３通り 出る目の和が11のとき， (大，小) ＝ (5，6)，(6，5) の２通り 出る目の和が12のとき， (大，小) ＝ (6，6) の１通り よって，〜は同時に起こらないので，和の法則より， ４＋３＋２＋１ ＝ 10 ( 通り ) となる。 １回サイコロを投げてこれらの現象が起こるのか起こらないのかで判断させましょう。   （２） 出る目の数が両方とも奇数になるには，当たり前ですが，大のサイコロが奇数，小のサイコロも奇数がでるときである。       大サイコロで奇数の目がでるのは１，３，５の３通り。   小のサイコロで奇数の目がでるのは１，３，５の３通り。   よって，出る目の数が両方とも奇数となるのは大，小のサイコロを同時に投げる必要がある。よって，積の法則より， ３×３ ＝ ９ ( 通り ) となる。   ま と め ここで， 和の法則　→ ある事象（現象）が同時に起こらない。すなわち，Aという事柄とBという事柄を別々に考えなければならないときに用いる。     積の法則　→ ある事象（現象）が同時に起こっている。 すなわち，A という事柄と B という事柄が同時（一気）に起こっているときに用いる。   　このことを定着させるために，数多くの問題を課題としました。 　結果，その事象（現象）が同時に起こっているのか，また同時に起こっていないのかがわかる生徒が多くいるようになりました。 　このことを踏まえ，今回の取り組みの本題ですが，「順列・組合せ」にはいりました。 【４・５・６時間目＋課題】 〜順列・組合せ〜   　「和の法則」，「積の法則」を利用する形で「順列・組合せ」に入りました。 　生徒たちの中には，「この問題は順列なのか？それとも組合せなのか？」と迷う生徒も当初はいましたが，慣れるうちにどんどんそのように言う生徒も減ってきました。まずは「順列」からはいります。 〈 問題 〉 10人の生徒の中から，会長，副会長，書記をそれぞれ１人ずつ選ぶ選び方は何通りありますか。 　さて，いままでと違って３つのポストしかないのに，10人もいるというのがやっかいです。しかし，「積の法則」さえしっかりと理解させておけば大丈夫でした。 [模範解答］ まずは，図のように会長，副会長，書記の３つの椅子を用意します。 　会長席にすわる人の選び方は10通り考えられます。 　次に，副会長席にすわる人の決め方は，残りの９人の中から選べばよいので，９通り考えられます。さらに，書記席にすわる人の決め方は，残りの８人の中から選べばよいので，８通り考えられます。   　よって今，３人を同時に選べばよいので，積の法則より，   　　　　　10 ×９×８ ＝ 720( 通り )   となる。   　このような形で説明すると，この場合であるとを使用しなくても十分に理解させることができます。要するに，並び方を気にするのが順列であることを強調しました。 これ以降練習問題をこなし，順列を定着させることができました。 　次に「組合せ」です。順列と組合せの違いをはっきりさせることが重要と思います。そこで，このような例を用いて説明しました。 〈 問題 〉 ８人の生徒の中から，給食当番を３人選ぶ選び方は何通りありますか。 順列と勘違いをしないように次のように説明しました。 ［模範解答］ 　たとえば，，，の３人の生徒が給食当番に選ばれたとすると，順列ではこの３人の並びを気にするわけですから， (，，) ，(，，) ，(，，) ，(，，) (，，) ，(，，) となる。しかし，この「組合せ」についてはその並びを気にしないわけです。 したがって，上記のような並び， (，，) ，(，，) ，(，，) ，(，，) (，，) ，(，，) はすべて１通りと考えるのが組合せです。 　よって，求める組合せの数を 通りとすると，８人の生徒の中から，給食当番を３人選ぶ選び方は， 6 × ＝ 8 × 7 × 6 　　　　　　　　　∴ ＝ 56( 通り ) となる。 　以後，課題問題を作成し提出させたところかなりの生徒が理解してくれている印象を持ちました。