長野県中学校数学教諭

１．授業の位置付け 　統計資料を関数的に分析する課題学習として，２学年「一次関数」学習後に位置付ける。 ２．教材化   (1) 　生徒の実態 　関数の学習では，グラフをかくことが目的になりがちである。グラフをかくことは問題を解決するための一手段であるはずだが，生徒はそのような意識をもちにくい。これは，これまでの指導内容の大きな反省点でもある。   (2) 　本時に寄せた教材化 1) 　一次関数の学習で統計資料を用いることの有効性 　統計資料のデータ＊は，実験によって得られたものではないため，特定の関数としてとらえることは難しい。だからこそ，既習内容を活用しながら考察し，興味・関心を引き出しながら問題を解決することができるものと考えた。   ＊ 以後，個々の数値を「データ」，データが集まった全体を「資料」と呼ぶことにする。 2) 　素材とその分析 　各都道府県の人口（以下「人口」），一戸建ての戸数（以下「戸数」）及び乗用車の保有台数（以下「保有台数」）の統計資料※を用いる。 ※ 「なるほどデータforきっず」 （http://www.stat.go.jp/kids/datastore/index.htm）より 　これらの資料からは，人口が多い地域は戸数や保有台数も多そうだということ以外はわかりにくいため，２量を関数とみて考察する必要が生じる。 　人口をx（千人），保有台数をy（万台）として座標平面上に点で表すと，図１のようになる。ここから２量の関係を一次関数とみて傾向を読み取ると，図２のようになる。　また，２量の関係を二次関数とみて二次回帰グラフを得ると，放物線の特徴を生かして，かなり正確な予測を行うことができる。 図１ 図２ 　戸数をx（万戸），保有台数をy（万台）として同様に考察すると，図３及び図４のようになる。特定の関数としてとらえられない資料について，回帰して「関数とみる」ことが，事象を考察して結論を導くために重要な発想となる。 　グラフから傾向を判断する際に式は必要ない。式を介さずにグラフ化し，グラフから事象を読み取ることが重要な意味をもつ。 図３ 図４ 3) 　生徒が保有台数を予測していく際の意識 　生徒は，限られたデータを用いて長野県の保有台数を予測する。そして，予測方法の違いによる予測値のずれに着目し，より正確な予測を行うために自分の予測方法を見直し，修正していく。 　前時，保有台数が最も少ない鳥取のデータと，最も多い東京のデータを与える。多くの生徒は，比例関係が成り立つと仮定し，それぞれのデータから右のような予測をする。そしてそれぞれの予測値のずれに着目させることにより，特に東京の人口データから得られた結果の信憑性に疑問を抱き，より多くのデータが必要だと考える。そこで，長野県の保有台数を除いた全国のデータを統計資料として提示する。生徒は個々のデータを有効に使うことを考え，グラフ電卓にデータを入力したり，そこから相関図を導き出したりして，考察していこうとする。 ３．授業の展開 学習活動 予想される生徒の反応 教師の指導・援助 ※個に応じた指導 評価 1. 課題を把握する。 ア． より正確な予測をするために，長野県以外の全都道府県のデータを使いたい。 ◇ 前時に予測した結果を提示する。 都道府県名 人口から (台) 戸数から (台) 鳥　取 101万 103万 東　京 60万 116万 2. ２つの相関図をどのように用いれば予測できそうか，全体追究で見通しをもたせる。 イ． 人口が多いと保有台数も多そうだが，相関図の点は多少ばらついている。 （図1-1） ウ． 戸数と保有台数の相関図は，点が直線状に並んでいるように見える。 （図2-1） エ． 人口と保有台数の相関図は曲線が合いそうだ。それぞれの回帰グラフから，人口や戸数に対応した座標を読み取ればよさそうだ。 ◇ ２つの相関図を全体に提示し，観察させる。 ◇ 全体追究で予測方法を挙げさせ，各自に追究の見通しをもたせる。 相関図を観察しながら自分の考えを述べる。 3. 全体追究で出された意見を参考にして，各自が予測方法を選択し，グラフ電卓を用いて予測を行う。 オ． 図1-1，図2-1のそれぞれについて，全体の傾向からはずれているような点は，最初から除外して考えても予測ができそうだ。 カ． 図1-1から直線を求めて長野県の人口2223千人に対応する保有台数を読み取ると，約96万台になる。 （図1-2・3） キ． 図2-1から直線を求めて，長野県の戸数55万戸に対応する保有台数を読み取ると，約115万台になる。 （図2-2・3） ク． ２つの予測値は近づいてはきたが，まだ19万台のずれがある。さらに修正できないか。 ケ． 人口と保有台数の関係はばらつきが大きいので，これを考え直す必要がありそうだ。 コ． 戸数と人口の相関図（図1-1）は，直線よりもなめらかな曲線のほうが合いそうだ。 ※ 考えがまとまらない生徒には，x軸とy軸が何を表してしているか示す。 ※ 傾向を把握した生徒には，グラフ化は考えられないかと問いかける。 ◇ 相関図を印刷したものを配布し，書き込みながら考えられるようにする。 ◇ グラフの修正方法や，グラフ電卓の使い方について助言する。 ◇ 点の散布状況に着目して，よりよいグラフを考えようとする生徒の考えのよさを認める。 ※ 予測が難しい生徒には，回帰グラフと各点の位置関係に着目して観察するように助言する。 長野県の保有台数を予測する。 ※ ２つの予測ができた生徒には，予測値のずれの原因を考えさせる。 4. 個人追究の内容に基づき，班ごとに意見交換を行う。 サ． 私は直線だと考えて96万台と予測したが，友達は曲線を使って106万台と予測した。図1-2と図3-1を比べると，確かに曲線のほうが合っている。曲線を使って予測したほうが正確だと思う。 ※ 一次回帰グラフのみで考えている生徒には，二次回帰グラフを用いて予測した生徒とかかわらせ，比較させる。 複数の回帰グラフを比較し，結論をまとめる ※ 二次回帰グラフを用いて予測した生徒には，全体への発表を促す。 5. 実際の保有台数に照らしながら本時の追究を振り返る。 シ． 実際には116万台と示されている。戸数から求めた予測値はかなり正確だった。 ス． 人口から曲線のグラフを求めたことで，106万台と，かなり正確に予測できた。 セ． 式はわからなくても，グラフそのものを解決の道具として用いることができた。 ソ． 人口や戸数が0だとしたら，保有台数も0だと考えるのが自然だ。そこを修正して，さらに正確な予測ができないか考えたい。 ◇ 総務省統計局のデータを用いて，長野県の保有数が116万台であることを示す。 ◇ 個人追究で求めたグラフ電卓の画面をモニターに映し出し，発表に使わせる。 ４．授業における具体場面 Ｎさん 班の追究の様子 人口と保有台数の相関図から曲線のグラフにしました。直線よりも何となく曲線のような感じがするし，人口が増えたとしても保有台数もずっと増えるかどうか疑問にも思ったので。人口と戸数の相関図は曲線のようだから，人口が増えても戸数はあまり増えないことがわかります。これは何か関係するかなと思ったのですが，ここで止まってしまいました。 教　師 困ったことがあったら，後でみんなに聞いてみたらいいね。何か出てくるかも知れないからね。 Ｎさん 私たちの班では，＜中略＞人口が増えても戸数はある程度のところまでしか増えないのではないかということがわかると思うので，何か関係があるのではないかなと思ったのですが，そこのところで悩んでいます。 ［Ｎさんの発言をきっかけに話し合いが行われ，Ｍさんは次のように述べた。］ Ｍさん 追究内容の発表 私は，人口と保有台数の相関図は直線だと考えて96万台と予測しました。次に曲線で予測したら115万台と出て，差がありすぎるなと思い，班で話し合いました。それで，平均を求めたらよいのではないかという意見が出ました。でも，中村さんが言ったことと同じなのですが，土地のことなども考えないと，その時はよくても先のことはおかしくなるかなと思いました。 ５．授業の成果と課題 個人追究でグラフ電卓使う 　生徒が事象にじっくり関わり，その中に潜む規則性や特性をとらえるような授業は行われにくいように感じる。今回の授業では，具体的な統計データを用い，関数的な見方や考え方を活用して事象を読み取ることを重点とした。グラフをかくことが関数の学習指導の最終目的ではなく，関数的な見方や考え方を活用して問題を解決することが大切だということについて，生徒は具体的な学習を通して実感したようである。 　また，この授業で登場する曲線は，頂点が原点にない放物線であり，生徒は，二次関数はまだ知らないし，式も知らない。しかし，グラフが曲がる関数もあるのだということに触れている。「一般の二次関数だから難しい。」という教師側の先入観で判断するのではなく，生徒にとっての現実をスタートにする学習が大切だと感じた。この授業では，グラフ電卓を使ったため，生徒は抵抗なく関数的な見方や考え方を問 題解決に活用した。 　学力低下が騒がれている中，伸びる生徒を伸ばすことについて配慮が足りない傾向はないか。適宜課題学習を位置付けたり，選択数学を活用したりして，伸びる生徒をより一層伸ばすことも大切に考えたいものである。