| (1) | 線分の図
線分の図で，１つ１つの線分を辺，その両端の点を頂点ということにする。
頂点の数をｖ， 辺の数をｅとする。
１つの樹形があったとき，これから，端の枝にある線分を１つとった樹形をつくる。すると，ｖもｅも１つずつ減るからｖ−ｅの値は変わらない。枝にある線分をとる操作を，さらに続けていっても，ｖ−ｅの値は，やはり変わらない。そして，最後に，１つの線分となり，このとき，ｖ−ｅ＝１だから，もとの図についてもｖ−ｅ＝１となる。
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(2) |
線分と面の図
線分の図に，それがかこむ面を含めて考えることにする。
頂点の数をｖ，辺の数をｅ，面の数をｆとする。
図のように外側の辺を１つ取り外し(頂点は残す)，これを辺に持つ面も同時に取り除くと，頂点の数は変わらず，辺の数は１つ減り，面の数は１つ減るから，ｖ−ｅ＋ｆの値は変わらない。この操作を繰り返し行っていっても，その途中での，ｖ−ｅ＋ｆの値は変わらない。そして，図形はついには，樹形（閉曲線を１つも含まない線分の図）になって，そのとき，ｖ−ｅ＝１，ｆ＝０となる。だから，ｖ−ｅ＋ｆ＝１である。したがって，もとの図についてもｖ−ｅ＋ｆ＝１となる。 |
(3) |
オイラーの定理
多面体の頂点の数をｖ，辺の数をｅ，面の数をｆとする。
１つの多面体Ｐで，頂点の数をｖ，辺の数をｅ，面の数をｆとする。
多面体Ｐから，１つの面を取り除く。できた穴を広げて，残りの面全体を，つながり具合を変えずに，平面上の線分と面との図Ｆにする。
この図Ｆにおいては，頂点の数はｖ，辺の数はｅ，面の数はｆ−１であるから，
ｖ−ｅ＋(ｆ−１)＝１
したがって，多面体Ｐの頂点，辺，面，ｖ，ｅ，ｆについて，次の関係が成り立つ。
| オイラーの定理： |
多面体で，頂点の数をｖ，辺の数をｅ，面の数をｆとすると，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ |
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(4) |
正多面体の辺の数
多面体では，どの辺も隣り合う２つの面（多角形）の辺になっているので，正多面体では，(辺の数)＝(１つの面の辺の数)×(面の数)÷２の関係が成り立つ。
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(5) |
発展
| ・ | 右図のような線分と面の図で，頂点の数をｖ，辺の数をｅ，面の数をｆとする。ｖ，ｅは変わらず，穴が１つ空いているとｆ−１，２つ空いているとｆ−２となるので，
ア)ｖ−ｅ＋ｆ＝０ イ)ｖ−ｅ＋ｆ＝−１
一般に穴が 個空いているとすると，ｖ−ｅ＋(ｆ−)＝１−となる。 |
| ・ | 図のような立体の表面で，頂点の数をｖ，辺の数をｅ，面の数をｆとする。ｖ，ｅは変わらず，穴が１つ空いているので，面の数は立体なので２つ減り，ｆ−２となるのでｖ−ｅ＋ｆ＝０
一般に穴が個空いているとすると，ｖ−ｅ＋(ｆ−２)＝２−２となる。 |
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