１．はじめに
図形領域の証明では，生徒が図形のどの部分に注目するのかが重要であると考えている。
例えば，円周角の定理を用いるためには，位置が変化しない中心角，弧を図の中から見つける必要がある。生徒にこのような見方を促すために，図形を自由に移動，変形させて考えさせることが必要であると考える。図形を移動，変形させることにより，不変なもの（角度の大きさや線分の長さ等）や不変な位置関係(合同，相似，面積が同じ等)にあるものを見つけだす。このような活動から，生徒が新たな図形の性質を発見できるように授業を構成した。
２．課題と授業構成について
○コンピュータによる操作的活動を取り入れる。
各班（班員４〜５人）にノート型のコンピュータを与えた。Geometoric Constructor（フリーソフト 愛知教育大学 飯島康之氏作）を用いて，直線Ｌが点Ａで回転するように設定し，生徒に自由に操作させた。
生徒には，角の大きさ，線分の長さの測定の仕方や線分の追加については，コンピュータの操作方法は指導済みである。
【コンピュータ画面】 |
○指導計画
| 第１次 | 円周角 | …… | ４時間 |
| 第２次 | 円周角の定理を使って | …… | ６時間（本時1/6） |
○指導のねらい
図形が動く中で，不変なものから，論理的に不変な関係にあるものを見つけることができる。
３．授業の実際
○課題提示 「線分を追加し，変わらないものを見つけよう」
コンピュータ画面をＯＨＰで投影したものを見て，課題を理解する。
→アニメーション
【図３】 |
○個人の考えをもたせる。
各自で，配付されたプリントに，線分を追加し，変わらないものを考える。次のような反応を示した。
| ・ | 与えられている点（中心，２円の交点，Ｐ，Ｑ）を結んで，
考える。 |
| ・ | 点Ｐ，Ｑの接線を引いて考える【図３】 |
| ・ | どこに線を引いてよいのか迷う。 |
○班活動；コンピュータを用いて，それぞれの意見を確認する。
次のような活動を行っていた。
 (1) | 右の図４のように，与えられている点をすべて結び，図を動かしながら，角の大きさや，線分の長さを測定している。
→図が複雑なので，１つ１つ線分を消して，△ＰＢＱの３つの内角の大きさが変わらないことを導きだす。 |
【図４】 |
(2) |
図５から， ＰＢＱが90゜ではないかと思い，角の大きさを表示させながら変形することによって，△ＰＢＱの３つの内角の大きさが変わらないことを導きだす。 |
(3) |
円周角の定理から，△ＰＱＢの３つの内角の大きさが変わらないことを導きだす。もっとすごいものがあると思い，いろいろな線分を引いて調べるが図５のような図がつくれず，接線を引く。 |
【図５】 |
(4) |
(3)の班と同じように考える。線分ＡＢを結ぶことにより，ＡＢ ＭＮを導きだす。
|
○各班の意見発表；各班から出た意見を次のようにまとめた。
位置，大きさが変わらないもの
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大きさが変わらないもの
|
関係が変わらないもの
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ＡＭＢ，ＡＮＢ，△ＭＡＢ，
△ＮＡＢ，ＰＭ，ＱＮ，ＡＮ，
ＡＭ，ＢＭ，ＢＮ，ＡＢ，
円Ｍの弧ＡＢ，円Ｎの弧ＡＢ |
ＡＱＢ，ＡＰＢ，
ＰＢＱ |
ＭＰＡ＝ＭＡＰ，
ＮＡＱ＝ＮＱＡ |
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○練り上げ
| Ｔ | ＡＱＢ，ＡＰＢの大きさが変わらないは，どうしてですか。 |
| S1 | 円Ｍ，円Ｎの弧ＡＢに対する円周角だから。 |
| Ｔ | ＡＱＢ，ＡＰＢの大きさが変わらないことから何か言えませんか。 |
| S2 | △ＰＢＱの残ったもう１つの角の大きさが変わらない。 |
| S3 | 相似だ。△ＰＢＱはすべて相似な三角形になる。 |
| S4 | ちょっと変です。円周角ではないのですが。 |
| Ｓ | えー，何のことかよくわからない。 |
| S4 | この図の場合，ＰＱＢは弧ＡＢに対する円周角ではないのに，どうして同じになるのですか。 |
| ＊ | 右の図をＯＨＰで投影し，自分の疑問を説明する。 |
| Ｓ | 本当だ。 |
| ＊ | 理由を考え始める。 |
| ＊ | プリントに図を記入し始める。
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○まとめ
| ・ | この時間でわかったこと
△ＰＢＱの形が変わらないこと。 ＰＱＢの大きさが変わらないこと。 |
| ・ | 次回への課題
どうしてＰＱＢの大きさが変わらないのか。 |
４．授業後の反省と今後の課題
この実践の核心となったものは次の２つのことがらであると考えられる。この２つの観点から考察する。
・課題について
・コンピュータを用いたこと
| ア | 課題について
＜図形の見方，とらえ方について＞
位置と大きさが変わらないものを挙げることにより，円周角ＰＱＢやＱＰＢをとらえさせるのに有効であった。なぜ角度が変化しないのか説明を受けるときの拠り所として，とらえやすかったようである。
＜円周角の定理から次の定理へ＞
円周角の定理から，円に内接する四角形の性質へと，生徒が定理を関連づけることも１つのねらいであった。練り上げの段階では，自分たちの発見したことがらから疑問をもち，新たな定理を発見できた。自分たちの見つけたもののすごさや不思議さに驚き，その理由を調べようとする生徒が多かった。新学習指導要領では削除されるところであるが，課題学習等で扱い，このような体験を生徒にさせたい。 |
イ |
コンピュータを用いたことについて
次の３つのことがコンピュータを用いたメリットとして挙げられる。
| (1) | 下位の生徒でも図３のような場合の図を的確に把握することができる。 |
| (2) | 角度の大きさや，辺の長さを表示させながら変形できる。 |
| (3) | 生徒の意見の確認を視覚的に，他の生徒に理解させることができる。 |
しかし，班に１台のノート型パソコンでの授業を展開したが，班員の数（４〜５）に対して少なかったようである。少なくとも２〜３人に１台用意できると，もっとスムーズに授業が展開できたのではないだろうか。 |
参考文献
| 乾 東一 | 図形の性質の研究 その発見と創造 新興出版社啓林館 |
| 飯島康之 | コンピュ−タで数学授業を変えよう 作図ツ−ルＧＣによる図形の指導 明治図書出版 |
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