 1 正五角形の性質
正五角形の持っている美しい性質について考えてみよう．
図の正五角形ABCDEは，円に内接している．
問題1 図で，・印を1つつけた角の大きさはすべて等しい．このことを示しなさい．
問題2 その角の大きさは何度でしょう．
問題3 △ACD ∽ △CDQ を示しなさい．
問題4 △QAC は QA＝QC の二等辺三角形であることを示しなさい．
問題5 CD＝1 としたとき，QD＝xとすると，どのような式ができますか．また，その式を解いてxを求め，線分ADの長さを求めなさい．
考察 ピタゴラス学派とペンタグランマ（正五角形の対角線を結んだ星形）
三平方の定理で有名な，古代ギリシャの数学者ピタゴラス（BC.6世紀ごろ）のグループは，美しい図形「正五角形」を作図できることを誇りにして，ペンタグランマをシンボルマークとし，星形の 徽章(きしょう)を胸につけていたといわれている．
2 正五角形の作図
次の手順でABを1辺とする正五角形を作図してみよう．
 手順1 線分ABの垂直2等分線HLをひく.（Hは線分ABの中点）
手順2 ABの長さを1 として，HL上にHM＝1となる点Mをとり，直線AMを引く．
手順3 直線AMのMの方への延長上に， となる点Nをとる．
手順4 点Aを中心として半径ANの円をかき， 直線HLとの交点をDとする．
手順5 点Aと点Dをそれぞれ中心とする，半径1の円をかき，交点をEとする．
手順6 点Bと点Dから 手順5 と同様にして点Cを求める．
以上から求めた点A，B，C，D，E を結べば正五角形ABCDEができます．
問題1 手順2 で作図した線分AM の長さを求めなさい．（AB＝1とする）
問題2 手順3 で作図した線分AN の長さを求めなさい．
問題3 手順4 で作図した線分AD は正五角形の対角線になっているといえますか．
本稿は，大阪高等学校数学教育会 教材開発委員会作成「出口の数学」第2集 §3．黄金分割 に掲載されているものを，八尾北高校・神永浩が再構成したものです．
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