課題学習の指導（数学）

山形市Ａ中学校

１．はじめに

　課題学習は，主体的な学びを身につけ，学ぶ意欲を育てることをねらいとしている。それは，自ら課題を見つけたり，その課題を解決する中で既習内容との関連づけを図り，また，既習内容の中から何を活用できるのかを主体的に選択する場とも考えられる。さらに，課題を解決していく過程において，数学的な見方や考え方のよさや有用性を感得することができ，意欲的に学習を進める場ともなっている。
　しかし，以前のような「教科書内容にとらわれない」課題学習の展開は，時数を削減されている現在では困難になっている。そこで，「教科書に即した内容」で，より生徒の関心・意欲を引き出しながら，数学の美しさや明瞭さを感得させる課題学習の展開を模索しなければならなかった。

２．授業の展開

　(1)

　題材について
　生徒が主体的な学びを身につけ，学ぶ意欲を育てるには，美しいものを見て感動する豊かな心を持つことが重要である。数学の授業の中でそのような心を育てるためには，数理的な考察・処理の簡潔さ，明瞭さ，的確さ，完全さなどの数学的なよさがわかることが必要である。

　本題材は，

　１辺12cmの正方形に，コンパスや定規を用いて線を加えることでできる図の斜線部分の面積を求める。

という問題を自ら作成することである。その中には中学３年間で学習する平面図形の内容，例えば，図形の移動・三平方の定理・扇形・相似・面積比・重心・中点連結定理…などが統合的に登場する。また，その問題が実際に解答を得ることができるのか十分に吟味しなければならない。例えば，図１のような問題は解答が得られるが，図２のような問題は，中学生では解決できない。そのことに気づけることも，重要な学びではないかと考えた。
　本題材の指導を通して，課題学習の学習過程，あるいはその結果において，自らが主体的に学ぶ意欲・態度を育てることができると考えられる。また，新たな課題への興味・関心が生まれ，学習の交流による感動体験の積み重ねの契機になると考えられる。

図１

図２

　(2)

　指導上の留意点

1.	多くの内容を統合的に活用する教材であるため，単純に一つの性質や定理を用いて解を導くことができず，非常に難易度の高い問題となる。したがって，段階を踏んで学んでいけるように配慮した。
2.	難易度が高いと集中力も意欲も低下するが，授業が進むごとに変化があり，自分たちで問題を作る課題学習にすることによって，興味・関心の持続につながるよう配慮した。
3.	問題作成の段階で，できる限り個々の生徒への支援をすることで，問題作りが難しいものであると同時に，楽しいものになるよう働きかけた。
4.	自分で作った問題を，まずは小集団で吟味させることによって，自分の作った問題に確かな自信をつけさせた。
5.	課題を解決する場面でも，小集団による活動を取り入れ，教え合い活動が確実に行えるようにした。
6.	班ごと出題し，解き合うことで小集団同士の交流を図った。
7.	生徒の発想を大切にし，問題作成に教師の手が入らないように心掛けた。
8.	班での活動を重視し，班単位での達成感を得られるように配慮した。

　(3)

　指導の実際

指　導　内　容

生徒の反応や活動(○)と教師の支援(●)

第

１

時

◎	正方形と円の基本形について，その面積を求められるようにする。

　【主となる課題】

図の斜線部分の面積を求めよう。

◎	図形を分割して考え，各部分を求めることによって求められることがわかる。

◎	白い部分の面積を，全体から引くことによって求めることができる。

○	２つに分かれた斜線部分をどのように求めていくか考える。
○	白い部分が同じ図形であることに気づく。
○	白い部分を求めることが近道であることに気づく。
●	図形を分割して考えることへの促し。

どう分割するかの検討

○	自分たちが今できること（既習事項）をどこで使えるかの検討。（三平方の定理・おうぎ形など）

(1)	中心角が60°のおうぎ形の面積
(2)	１辺が12cmの正三角形の面積
(3)	(1)－(2)で求められる，弦と弧によって囲まれた部分の面積
(4)	中心角30°のおうぎ形の面積
(5)	(4)－(3)によって求められる白い部分の面積

（思考は逆向き）

●	(1)～(5)の各部分の面積の求め方を十分に理解させることによって，次時からの活動につながっていく。

第

２

時

◎	前時の内容を利用した問題と移動して簡単に求められる問題の学習

（教師からの出題）

【前時の内容の類題】	【移動によって解決できる問題】
【その他の問題】

第

３

時

◎	「１辺12cmの正方形に，コンパスや定規を用いて線を加えることでできる図の斜線部分の面積を求める」問題を自分で作る。
◎	一人ひとりが様々な図をかき，その問題を自分で解いてみる。（解けなかったものもそのまま残しておく）
◎	班を作り，自分たちが作った問題を紹介する。
◎	班の中で互いの問題を解きあい，自分たちの班からの難易度別の出題問題を決定する。（初級…黄，中級…緑，上級…赤，挑戦…白の各用紙）
◎	解答の作成

　【生徒の作成した問題例】

　【作成した解答例】

第

４

時

◎	各班ごとに，他の班が作った問題を難易度別に選択する。
◎	各班で選んだ問題を協力し合いながら，班の全員で解くことができる。
◎	出題した問題の解答をすることができる。また，各班で解いた問題を出題した班に解答してもらう。
◎	自分たちの班で解いた問題で，感動したものを紹介できる
◎	紹介された問題を全員で解くことができる。

●	難易度の違いがわかるよう黒板に表示し，紙を貼っていく。
●	それぞれの班が話し合いを活発に行って問題を吟味しているか，プリントの進行状況と机間巡視で確認していく。
○	難しい問題に対しても興味を持って取り組んでいる。
○	班の仲間と相談する。
○	出題者にヒントを聞きに行く。
●	問題の難易度に差がありすぎて，各班の解答する時間に差が出たり，全く解けない生徒や，簡単に４問解いてしまう生徒が出るなどの差が大きくなることを予想し，教師が考えた第５の問題を準備しておく。
○	自分の解答と正解を比較し，間違いを発見し，それを直すことができる。また，きちとした説明ができる。

　【最も支持された問題】

３．成果と課題

●

内容的に非常に高度な計算を要求されるが，第１時での学習があったため，多くの生徒に満足感があったようである。問題作りの場面では，楽しそうに図を作り，自然な交流の中で教え合いを行いながら，数多くの問題を作ることができたようである。また，難易度の違いを紙の色で表したことや，自分たちで問題を選択させたことが，より生徒の意欲を引き出す結果につながったように思う。課題学習として実施した内容ではあるが，必修の時間でも活用できるように感じた。

●

生徒は，「まずは美しい図を描く」という視点で図を作るため，半径の異なる円を用いたくなるようである。すると，解答を得られない問題になってしまう場合があり，せっかく作った美しい図形が，実は「答えが出せない問題」であることに気づくまでにかなり時間がかかった。