2で割り切れる／割り切れない
整数 n が2で割り切れるための必要十分条件は，末位の数が2で割り切れることである．
3で割り切れる／割り切れない
整数 n が3で割り切れるための必要十分条件は，各位の数の和が3で割り切れることである．
［証明］10k−1が3で割り切れることを使う．
　　　　n＝a0＋a1×10＋a2×102＋……＋am×10m
　　　　　　　a0，a1，a2，……，am は1けたの整数　
とおく．
　　　　n＝a1×(10−1)＋a2×(102−1)＋……＋am×(10m−1)
　　　　　 ＋(a0＋a1＋a2＋……＋am)
　ここで，10−1，102−1，……，10m−1は9の倍数で，3の倍数でもある．
よって，
　　(n を3で割った余り)＝(a0＋a1＋a2＋……＋am を3で割った余り)
であり，
　　n が3で割り切れる　⇔　a0＋a1＋a2＋……＋am が3で割り切れる
(証明終)
4で割り切れる／割り切れない
整数 n が4で割り切れるための必要十分条件は，末位2けたの数が4で割り切れることである．
［証明］　n の末位2けたの数を a とすると，n−a は100の倍数である．
　n＝a＋100 bとおくと，100 bは4の倍数だから，
　　n が4で割り切れる　⇔　a が4で割り切れる
(証明終)
5で割り切れる／割り切れない
整数 n が5で割り切れるための必要十分条件は，末位の数が0または5であることである．
8で割り切れる／割り切れない
整数 n が8で割り切れるための必要十分条件は，末位3けたの数が8で割り切れることである．
［証明］　n の末位3けたの数を a とすると，n−a は1000の倍数である．
　n＝a＋1000 b とおくと，1000 b は8の倍数だから､
　　n が8で割り切れる　⇔　a が8で割り切れる
(証明終)
9で割り切れる／割り切れない
整数 n が9で割り切れるための必要十分条件は，各位の数の和が9で割り切れることである．
［証明］10k−1が9で割り切れることを使う．
　　　　n＝a0＋a1×10＋a2×102＋……＋am×10m
　　　　　　　a0，a1，a2，……，am は1けたの整数　
とおく．
　　　　n＝a1×(10−1)＋a2×(102−1)＋……＋am×(10m−1)
　　　　　 ＋(a0＋a1＋a2＋……＋am)
　ここで，10−1，102−1，……，10m−1は9の倍数である．
よって，
　　(n を9で割った余り)＝(a0＋a1＋a2＋……＋am を9で割った余り)
であり，
　　n が9で割り切れる　⇔　a0＋a1＋a2＋……＋am が9で割り切れる
(証明終)
25で割り切れる／割り切れない
整数 n が25で割り切れるための必要十分条件は，末位2けたの数が0，25，50または75であることである．
11で割り切れる／割り切れない

整数 n が3で割り切れるための必要十分条件は，各位の数の交代和が3で割り切れることである．
（注）一般に，
　　　a0−a1＋a2−a3＋……＋(−１)m am
という表現を交代和という．

　整数 n＝a0＋a1×10＋a2×102＋a3×103＋……＋am×10m の各位の数 a0，a1，a2，……，am の交代和といえば，a0−a1＋a2−a3＋……＋(−１)m am のことである．
［証明］102k−1は9が2k 個並ぶから，99の倍数であり，したがって11の倍数である．
　　　　また，102k＋1＋1は102k＋1＋1＝(102k−1)×10＋11だから11の倍数である．
　　　　 n＝a0＋a1×10＋a2×102＋a3×103＋……＋am×10m
　　　　　　　 a0，a1，a2，……，am は1けたの整数
とおく．
　　　　 n＝a1×(10＋1)＋a2×(102−1)＋a3×(103＋1)＋……
　　　　　＋am×(10m−(−1) m)＋(a0−a1＋a2−a3＋……＋(−１)m am)
　ここで，10＋1，102−1，103＋1，……，10m−(−1) m は11の倍数である．
よって，
　　(n を11で割った余り)＝(a0−a1＋a2−a3＋……＋(−１)m am を11で割った余り)
であり，
　　n が11で割り切れる　⇔　a0−a1＋a2−a3＋……＋(−１)m am が11で割り切れる
(証明終)
n が素数でなければ，n は 以下のある素数で割り切れる．
　n が n よりも小さい2数の積として表されるとき，小さいほうの因数は 以下である.
［証明］　　　 n＝a×b　　　(1＜a ≦ｂ ＜n)
のとき，
　　　a2≦a×ｂ＝n
だから，　a ≦
（証明終）
　以上のことから，n が素数でなければ 以下の素因数をもつ