2で割り切れる／割り切れない
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整数 n が2で割り切れるための必要十分条件は，末位の数が2で割り切れることである．
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3で割り切れる／割り切れない
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整数 n が3で割り切れるための必要十分条件は，各位の数の和が3で割り切れることである．
［証明］10k－1が3で割り切れることを使う．
n＝a0＋a1×10＋a2×102＋……＋am×10m
a0，a1，a2，……，am は1けたの整数
とおく．
n＝a1×(10－1)＋a2×(102－1)＋……＋am×(10m－1)
＋(a0＋a1＋a2＋……＋am)
ここで，10－1，102－1，……，10m－1は9の倍数で，3の倍数でもある．
よって，
(n を3で割った余り)＝(a0＋a1＋a2＋……＋am を3で割った余り)
であり，
n が3で割り切れる ⇔ a0＋a1＋a2＋……＋am が3で割り切れる
(証明終)
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4で割り切れる／割り切れない
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整数 n が4で割り切れるための必要十分条件は，末位2けたの数が4で割り切れることである．
［証明］ n の末位2けたの数を a とすると，n－a は100の倍数である．
n＝a＋100 bとおくと，100 bは4の倍数だから，
n が4で割り切れる ⇔ a が4で割り切れる
(証明終)
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5で割り切れる／割り切れない
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整数 n が5で割り切れるための必要十分条件は，末位の数が0または5であることである．
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8で割り切れる／割り切れない
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整数 n が8で割り切れるための必要十分条件は，末位3けたの数が8で割り切れることである．
［証明］ n の末位3けたの数を a とすると，n－a は1000の倍数である．
n＝a＋1000 b とおくと，1000 b は8の倍数だから､
n が8で割り切れる ⇔ a が8で割り切れる
(証明終)
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9で割り切れる／割り切れない
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整数 n が9で割り切れるための必要十分条件は，各位の数の和が9で割り切れることである．
［証明］10k－1が9で割り切れることを使う．
n＝a0＋a1×10＋a2×102＋……＋am×10m
a0，a1，a2，……，am は1けたの整数
とおく．
n＝a1×(10－1)＋a2×(102－1)＋……＋am×(10m－1)
＋(a0＋a1＋a2＋……＋am)
ここで，10－1，102－1，……，10m－1は9の倍数である．
よって，
(n を9で割った余り)＝(a0＋a1＋a2＋……＋am を9で割った余り)
であり，
n が9で割り切れる ⇔ a0＋a1＋a2＋……＋am が9で割り切れる
(証明終)
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25で割り切れる／割り切れない
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整数 n が25で割り切れるための必要十分条件は，末位2けたの数が0，25，50または75であることである．
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11で割り切れる／割り切れない
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整数 n が3で割り切れるための必要十分条件は，各位の数の交代和が3で割り切れることである．
（注）一般に，
a0－a1＋a2－a3＋……＋(－１)m am
という表現を交代和という．
整数 n＝a0＋a1×10＋a2×102＋a3×103＋……＋am×10m の各位の数 a0，a1，a2，……，am の交代和といえば，a0－a1＋a2－a3＋……＋(－１)m am のことである．
［証明］102k－1は9が2k 個並ぶから，99の倍数であり，したがって11の倍数である．
また，102k＋1＋1は102k＋1＋1＝(102k－1)×10＋11だから11の倍数である．
n＝a0＋a1×10＋a2×102＋a3×103＋……＋am×10m
a0，a1，a2，……，am は1けたの整数
とおく．
n＝a1×(10＋1)＋a2×(102－1)＋a3×(103＋1)＋……
＋am×(10m－(－1) m)＋(a0－a1＋a2－a3＋……＋(－１)m am)
ここで，10＋1，102－1，103＋1，……，10m－(－1) m は11の倍数である．
よって，
(n を11で割った余り)＝(a0－a1＋a2－a3＋……＋(－１)m am を11で割った余り)
であり，
n が11で割り切れる ⇔ a0－a1＋a2－a3＋……＋(－１)m am が11で割り切れる
(証明終)
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n が素数でなければ，n は  以下のある素数で割り切れる．
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n が n よりも小さい2数の積として表されるとき，小さいほうの因数は 以下である.
［証明］ n＝a×b (1＜a ≦ｂ ＜n)
のとき，
a2≦a×ｂ＝n
だから， a ≦
（証明終）
以上のことから，n が素数でなければ 以下の素因数をもつ
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