このとき，複素数 z =x ＋ yi と行列 Z = = xE ＋yI とは1対1に対応する。

　さらに，加減乗除についても対応していることがわかる。
　実際，複素数 α = x ＋ yi ， β = s ＋ ti にそれぞれ行列 A =xE ＋yI， B =sE ＋tI を対応させるとき，

α＋β = (x ＋s )＋(y ＋t )i		(x ＋s ) E ＋(y ＋t ) I = A＋B
α−β= (x −s)＋(y −t )i		(x −s) E ＋(y −t ) I = A−B
αβ =(xs −yt )＋(xt ＋ys )i		(xs −yt ) E ＋(xt ＋ys ) I = AB (=BA )

となる。また，x = y =0 すなわち A =O の場合以外は，A は逆行列をもつ。
　M = {xE ＋yI | x， y は実数 } とするとき，M は「複素数を表す行列」全体の集合であり，このような行列だけを考えたとき，四則演算に関して複素数全体の集合Cと同じ「構造」を持つのである。
　複素数を表す行列は，互いに交換可能であることにも注意したい。
　これは大学入試問題でも頻出である。次の広島大の問題を見てみよう。

　(1)について，1に単位行列 E が対応し，虚数単位 i には が対応する。
　(2)については，複素数を表す行列が，積について対応していることを示す問題である。

　次は，和の対応および方程式の対応を示す問題である。

例題2. E = ， I = ， O = とおく。M = {xE ＋yI | x， y は実数 } とするとき， (1) A =xE ＋yI ， B =sE ＋tI とおいて，A ， B∈M ならば A ＋B∈M， A−B∈M を示せ。 (2) A ， B∈M ならば AB = BA∈M を示せ。 (3) A∈M， A≠O ならば A の逆行列 A−1 が存在し，A−1∈M となることを示せ。 (4) Z ∈M， Z 4 = E を満たす Z をすべて求めよ。 (5) Z M， Z 4 = E を満たす2×2行列 Z はあるか。あれば例を1つ挙げよ。なければそのことを証明せよ。 [2006年度　大阪医大]

　例題2の (1)， (2)， (3) で，加法，乗法と逆数の対応を導いている。
　特に，(2) では複素数を表す行列が，互いに交換可能であることを述べている。
　(4) の方程式 Z ⁴ = E は，複素数の方程式 z ⁴= 1 に対応する。
　z ⁴= 1 の解は z =±1， ±i であるから，これに対応する行列 Z =±E， ±I が解となる。
　ただし4次方程式に帰着できるのは，Z∈M の条件があるからである。この条件を失えば
　Z =±E， ±I 以外にも Z ⁴ = E を満たす行列が存在する。例えば Z= である。
　これが (5) の出題意図である。

　次も方程式の対応である。

例題3 (1) a， b を実数とし，A = ， J = とする。A2 = J が成立するとき，a と b の値を求めよ。 (2) a1， a2， b1， b2 を実数とし，B = ， C = ， O = とする。BC = O が成立するとき，a1 = b1= 0 または a2 = b2 = 0 となることを示せ。 [2003年度　奈良女子大]

　A は複素数を表す行列である。A に対応する複素数を z とする。
　(1)の A²= J は z ² = i を意味する。z =± (1＋i ) だから，A =± (E ＋J ) である。
　(2)は，複素数を表す行列の集合 M = {xE ＋yJ | x， y は実数 } の要素 A， B に対して，

　　　　AB = O ならば A = O または B = O

が成り立つことを示す問題である。すなわち，Mには零因子が存在しないのである。
　証明は簡単である。AB = O において両辺の行列式をとると，

　　　　det (AB ) = det (O )

行列式の性質を用いて

　　　　det (A ) det (B ) = 0

であるから，( a₁²＋b₁² ) ( a₂²＋b₂² ) = 0 となる。これより，題意が示せる。
　A≠O ならば，M の要素 A は必ず逆行列を持つことがわかる。

　この例題では，I が1に，J が虚数単位 i に対応している。
　(1) では，i ² =−1 ， i ³ =−i ， i ⁴ = 1 に対応して，J ²=−I， J ³ =−J ， J ⁴ = I が成り立つことが分かる。
　また，(2) では，a ＋bi が逆数をもつ条件と同等であることに注意したい。先程と同様，a = b =0 のとき以外は，aI ＋bJ は逆行列を持つのである。
　(3) は，

　　　　sI ＋(1＋st ) J ＋tJ ²＋st ² J ³＋t ² J ⁴ =(s−t ＋t ²) I ＋ (1＋st−st ²) J

となるから，複素数 (s−t ＋t ²)＋(1＋st−st ²) i が逆数をもつかどうかに帰着される