私の勤務する桐蔭高等学校は，3学年320名のうち現浪合わせて約250名（昨年度)が国公立大学に合格する，いわゆる進学校である。また，医学部や東大・京大などの難関大学に合格する生徒も年々増加傾向にある。詳しくは，本校のホームページを参照されたい。
　難関大学を受験する生徒は，より高いレベルの数学を求めているが，平素の授業では，彼らに照準を合わせることは許されない。それは，大多数の生徒の犠牲を意味するからだ。
　そのため，彼らは自力で様々な問題を解こうとするが，問題の本質や体系的な理解に到達することは少ない。とりあえず答えは求まるが，その目的・意義が分からないことも多い。すなわち，共通する本質に気付かないまま，多くの問題を闇雲に解いていくことになり，不毛な努力を強いられることになる。
　また，大学入試では，大学数学の内容を受験問題化したものが数多く見受けられる。それらには，必ず目的や意義が存在する。その本質を教えることができれば，効率的な学習が可能になることはもちろん，数学的な本質に対する理解・興味を深めることに繋がる。結果，生徒の大学進学後の勉学にも寄与することになろう。
　そこで，授業では扱う余裕のない発展的な事項について，プリント等を配布することにしている。その1つについて，紹介させていただきたい。

　2次の正方行列 に対して，ad−bc を A の行列式（determinant）といい，det(A)で表す。det(A)のことを Δ (A) や |A| と表すことも多い。A, B, P を2次の正方行列とするとき，以下のことが成り立つ。

　(i) の証明については，教科書の演習問題等で扱われることが多い。
　, とすると，であるから，

となる。
　(ii) は，det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det (BA) より得られる。
　(iii) は，det(A²)=det(A)det(A)=(det(A))² 等より，帰納的に証明される。
　(iv) は，1=det(E)=det(AA^-1)=det(A)det(A^-1) より示せる。
　(v) は，(ii) より det((P ^-1A)P)=det(P(P ^-1A))=det(A) となることから得られる。
　(vi) については，2次の正方行列の場合にしか成立しない。よく det(kA)=k det(A)と誤った計算をしやすいので，気をつける必要がある。なお，A が n 次の正方行列のとき，det(kA)= kⁿdet(A) となることが知られている。

　次に，trace の性質について述べる。2次の正方行列 に対して，Tr(A)=a+d を A の trace という。A, B, P を2次の正方行列とするとき，以下のことが成り立つ。

　性質 (i) , (ii) は明らかであろう。
　性質 (iii) について示そう。
　, とおくと，, となるから，
　　Tr(AB)=ap+br+cq+ds=Tr(BA)
となる。
　また，性質 (iv) は性質 (iii) より，行列式のときの証明と同様に
　　Tr(P ^-1AP)=Tr((P ^-1A)P)=(Tr(P(P ^-1A))=Tr(A)
と示せる。det(P ^-1AP)=det(A) と並んで，対角化の際の検算に用いるとよい。
　性質 (v) は Cayley-Hamilton の方程式 A²−(a+d)A+(ad−bc)E =O である。
　性質 (vi) について示そう。A²−Tr(A)A+det(A)E =O において，両辺の trace をとると，
　　Tr(A²−Tr(A)A+det(A)E)=Tr(O)
が得られる。ここで性質 (i) より
　　Tr(A²)−Tr(Tr(A)A) + Tr(det(A)E)=0
また，(ii) より，
　　Tr(Tr(A)A)=Tr(A)Tr(A)= ( Tr(A))²
　　Tr(det(A)E) = det(A) Tr(E)=2det(A)
が成立しているから，
　　Tr(A²)−(Tr(A))²+2det(A)=0
である。
　これらの性質については，先程の行列式の性質と並んで，大学入試で出題されることが多い。具体的な問題で眺めてみることにする。

　| D |はdet(D), [D] はTr(D) を表している。A に対しては，| A | =−26, [A]=1 である。
　(1) であるが，A² を計算する必要はない。det(A²)= det(A)² であるから，
　| A² | = | A |² =(−26)² である。
　(2) は性質 (v) である。
　　次の例題も，trace の性質をモチーフにしたものである。

例題2. 2次正方行列 （a, b, c, d は実数）に対して，実数 f (A) をf (A)=a+d と定義する。これについて性質 　　 f (A±B ) =f (A)±f (B)（複号同順） は証明なしで使ってよい。 (1) 2次正方行列 A, B に対して，f (AB) =f (BA) を証明せよ。 (2) 2次正方行列 P, Q が P=PQ−QP を満たしているとする。このとき，f (P)=0 を証明せよ。 (3) (2)の P に対して，f (P2) =0 を証明せよ。 (4) (2)のP に対して， を証明せよ。 [2001年度　千葉大]

　f (A)=Tr(A) である。
　(1) は性質 (i) の証明である。
　(2) は，Tr(P) = Tr(PQ)−Tr(QP)=0 より得られる。
　(3) は，P ²= P(PQ−QP) =P ²Q−PQP から，
　　　　　　　Tr(P ²)=Tr(P ²Q )−Tr((PQ)P)=Tr(P ²Q )−Tr(P ²Q )=0
とすればよい。
　(4)について考える。性質 (vi) を行列 P に適用すると
　　　　　　　Tr(P ²)−(Tr(P))² +2det(P) = 0
　また，仮定よりTr(P ²)= Tr(P)=0 であるから，上式よりdet(P)=0 である。
　一方，Cayley-Hamilton の方程式
　　　　　　　P ²−Tr(P) P+det(P)E =O
を利用すると，
　　　　　　　P ²=Tr(P) P−det(P)E =O
となることがわかる。

例題3. 2次の正方行列 に対して，T(A)=a+d , Δ(A)=ad−bc とおく。また，とおく。 (1) 行列 , に対して，Δ(XY) =Δ(X)Δ(Y) が成立することを示せ。 (2) T (A2) を，T(A)とΔ(A)を用いて表せ。 (3) A が Δ(A)=1 かつ A4=E を満たすとする。T(A) の値をすべて求めよ [1998年度　富山医薬大]

　T(A)=Tr(A), Δ(A)=det(A) を表している。
　(1) は行列式の性質 (i) である。
　(2) はtraceの性質 (vi) から，Tr(A²)=(Tr(A))²−2det(A) より得られる。
　(3)については，これらの組み合わせでできる。性質(vi)を行列 A² に対して適用すると，
　　　　　　　Tr(A⁴)−(Tr(A²))²+2det(A²)=0…[1]
である。
　[1] の各項について考える。
　A⁴=E より，Tr(A⁴)=2である。
　det(A)=1より，det(A²)=det(A)² =1 である。
　よって [1] より，Tr(A²))²=4 すなわち，Tr(A²)=±2 となる。
　性質 (vi) を再び用いる。(Tr(A))²=Tr(A²)+2det(A) であるから，
　　(Tr(A))²=0, 4
　よって，Tr(A)=0, ±2 となる。

　先程，Tr の持つ性質
　　 (i) Tr(A+B)=Tr(A) + Tr(B)
　　 (ii) Tr(kA)= kTr (A)
　　 (iii) Tr(AB)=Tr (BA)
について述べた。逆に，2次の正方行列から実数全体への関数f が
　　 (i' ) f (A+B) = f (A)+f (B)
　　 (ii' ) f (kA) = kf (A)
　　 (iii' ) f (AB) = f (BA)
を満たすならば，f (A) = αTr (A) （αは定数）と表されることがわかる。
　次の例題をもとに，実際に示してみよう。

　(1)について，性質(i' )から
　　　　　　　f (O)=f (O+O)=f (O)+f (O)
より，f (O)=2f (O) であるから，f (O)=0 である。
　一般的に f (A+B)=f (A)+f (B) が成立する関数に対しては，f (O)=0 が成立する。
　(2), (3)について考える。
　性質 (iii' ) f (AB)=f (BA) よりf (P), f (Q), f (R) , f (S) を求めることができる。
　P, Q, R, S の相互の積について考えると，PQ=Q, QP =O より，f (PQ) = f (Q),
f (QP)=f (O) である。f (PQ)=f (QP) であるから，f (Q)=f (O) である。

　また，P, Q, R, S の相互の乗積表を作ると，下表のようになる。（XY の値を記している。）

　この表から，f (PR)=f (RP) より f (R)=f (O), f (QR)=f (RQ) よりf (P)= f (S) となる。
　以上より，性質 (iii' ) 単独で，f (Q)= f (R)=f (O), f (P)= f (S) が導けることがわかる。
　次に f (A) を具体化する。
　f (P)=f (S)=α　とおく。 (1) よりf (O)=0 だから，f (Q)=f (R)=0 である。

　任意の は，行列 P, Q, R, S を用いてA=aP+bQ+cR+dS と分解される。
　性質 (ii' ) より，f (A)=af (P)+bf (Q)+cf (R)+df (S) となるから，
f (P)=f (S)=α，f (Q)=f (R)=0 より
　　　　　　　f (A)=(a+d )α= αTr(A)
と表されることがわかる。
　αの値は，条件(c)：f (E)=1 より確定し， である。
したがって， となることがわかる。

　このように，行列式や Trace を題材にした問題は毎年のように出題されている。他の分野でも大学数学を題材とした出題は多い。私は，これらを大学側からのメッセージと考えている。
　大学入試問題の演習を，「ただ解ければよい」という，いわゆる偏差値至上主義の視点で見るのではなく，より高度な数学に対する展望を与える機会と捉え，このような教材を作成している。
　また，このような教材のおかげで，普段の授業では標準的なレベルに徹することができ，中堅国公立大などを目指す生徒や，数学の苦手な生徒にも照準を合わせることができた。
　今後も，発展的な教材を作成していきたいと思う。