数学 III の最後の部分で待ち行列の到着分布を微分方程式を用いて解いてみた。内容は学部3年程度であるが，数学的手法は高校の知識で足りる。微分方程式は1階の変数分離型とその応用で十分である。物理現象を扱うと，すぐに2階の常微分方程式を解くことになり高校生には不可能である。その一方，待ち行列は一見雲をつかむようだが，いくつかの条件を満たせば定式化は比較的容易である。ただ，状況説明には多くの時間をかける必要は生じる。さらに確率現象を微分方程式で記述することは生徒にとって困難であるかもしれない。

　a) ～d) の意味は次の通りである。

　また，事象 A と B が独立であれば，P(A∩B)=P(A)P(B) が成り立ち，これも随所で使われる。さらに，o(h) は，h を第一位の無限小とするときに，h よりも高位の無限小の項を表すので，定数係数や正負の違いは影響がないと考える。

(2)微分方程式を解いてみる
　時刻 t までに k 人の顧客が来る確率を次のように書き，時刻 t から微小時間 h を経過した時刻 t＋h の確率を示す。
　　P{N(t)=k}=P_k(t)
まず，顧客が1人も到着しない P₀(t＋h) を考える。

ただし，
　　P{N(h)=0}=1-P{N(h)=1}-P{N(h)≧2}=1-λh-o(h)
これより，微分方程式の形にして解くと次のようになる。
　　
　　　だから
　∴　P₀(t)=e^-λt

　これは初期条件 P₀(0)=1 のもとで解いており，時刻 0 から t までの間に誰も顧客が来ない確率を示している。次に，この結果をもとに時刻 t までに k 人の顧客が到着する確率 P_k(t) を求める。前述と同様に， P_k(t＋h) から導く。

P0(t＋h)

=P{N(t＋h)=k} =P{N(t)=k，N(t＋h)-N(t)=0}　…[1] ＋P{N(t)=k-1，N(t＋h)-N(t)=1}　…[2] ＋ P{N(t)=k-i，N(t＋h)-N(t)=i}　…[3]

以上をまとめて同様に微分形式に直すと，
　　P_k(t＋h)=P_k(t)-λP_k(t)＋λP_k-1(t)
　　 P_k(t)=-λP_k(t)＋λP_k-1(t)
さらに，両辺に e^λt をかけて整理すると，
　　e^λt P_k(t)＋λe^λt P_k(t)=λe^λt P_k-1(t)　…[4]
　　 {e^λt P_k(t)}=λe^λt P_k-1(t)　…[5]
　[4] の左辺は [5] の左辺の形にまとめられるので，今度は k=1 から漸次，P₀(t)=e^-λt 及び初期条件 P_k(0)=0 をもとに解いていく。
　　 {e^λt P₁(t)}=λe^λt P₀(t)=λe^λt e^-λt =λ
　∴e^λt P₁(t)=λt＋C (Cは定数) よりP₁(t)=λt e^-λt
　同様に k=2 のとき， である。
　さらに，k=n のとき， を得る。なお，一般的な k=n の場合は数学的帰納法で確認する。この分布はポアソン分布であり，この到着の仕方をポアソン到着という。また，この分布の平均及び分散は次の通りである。練習問題としてもおもしろい。
　E{N(t)}=λt，Var{N(t)}=λt

(3)例題
　ある店に到着する顧客は1時間当たり2人の割合でポアソン到着に従う。午後1時から午後4時間での3時間に顧客の訪れる次の確率を求めよ。
　a) 誰もこない。　b) 3人来る。　c) 6人来る。

　ここで扱ったのは微分差分方程式である。k=0 について解を求めてからそれをもとに， k=n の解を漸次順番に求めていくので，遠回りではあるが地道にたどれば，高校生でも決して無理ではない。以下に指導上の留意点などをあげる。