授業実践記録 | |
待ち行列を微分方程式で解く | |
鶴見大学附属鶴見女子中学・高等学校 浅香 聡 |
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1.はじめに
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数学 III の最後の部分で待ち行列の到着分布を微分方程式を用いて解いてみた。内容は学部3年程度であるが,数学的手法は高校の知識で足りる。微分方程式は1階の変数分離型とその応用で十分である。物理現象を扱うと,すぐに2階の常微分方程式を解くことになり高校生には不可能である。その一方,待ち行列は一見雲をつかむようだが,いくつかの条件を満たせば定式化は比較的容易である。ただ,状況説明には多くの時間をかける必要は生じる。さらに確率現象を微分方程式で記述することは生徒にとって困難であるかもしれない。 |
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2.ノート
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(1)準備 待ち行列とは,例えば駅の券売機にできる行列の状況を数学的に解析する方法で,顧客の到着は確率的で一定の法則性はないことが多い。そこで,顧客の到着は確率過程 {N(t),t≧0} に対応し,次の4つの条件を満たすものとする。なお,確率過程とは確率現象が時間により推移するもので,この確率変数 N(t) は,時刻 t に依存し,N(t) は非負の整数値をとる。
a) ~d) の意味は次の通りである。
また,事象 A と B が独立であれば,P(A∩B)=P(A)P(B) が成り立ち,これも随所で使われる。さらに,o(h) は,h を第一位の無限小とするときに,h よりも高位の無限小の項を表すので,定数係数や正負の違いは影響がないと考える。 (2)微分方程式を解いてみる
ただし, これは初期条件 P0(0)=1 のもとで解いており,時刻 0 から t までの間に誰も顧客が来ない確率を示している。次に,この結果をもとに時刻 t までに k 人の顧客が到着する確率 Pk(t) を求める。前述と同様に, Pk(t+h) から導く。
以上をまとめて同様に微分形式に直すと, (3)例題
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3.まとめ
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ここで扱ったのは微分差分方程式である。k=0 について解を求めてからそれをもとに, k=n の解を漸次順番に求めていくので,遠回りではあるが地道にたどれば,高校生でも決して無理ではない。以下に指導上の留意点などをあげる。
参考文献 |