授業の最初で、対数が生まれた経緯を生徒とともに振り返ります。

	□にあてはまる数字をいいなさい。 　　2□＝1 　　2□＝2 　　2□＝3 　　2□＝4 　　…… 　　2□＝8 　　……

　2^□＝2，2^□＝4，2^□＝8 の□に入る数は、順に1，2，3であることは、多くの生徒がすぐに気づくでしょう。2⁰＝1については、答えられない生徒もいるかもしれません。復習も兼ねて、ここで a⁰ の値について簡単におさらいするのが、私のいつものやり方です。
　さて、問題は 2^□＝3 を満たす□です。この□に入る数を考えさせます。
「2¹＝2，2^□＝3，2²＝4 だから、□＝1.5 ではないか。」という予想が、生徒の方から出てくればしめたものです。（出てこないときはこちらで誘導します。）そして、この予想が正確ではないことを、次のように示してやります。

	＝1.414…… であるから 21.5＝2.828…… よって 　　　 　　　 21.5≠3 でも、21.5は3より少し小さい数ということが分かったから 2□＝3を満たす数□は、1.5より少し大きい数みたいだね。

　この説明を通して、直感的にではありますが、底が2の場合（指数関数が増加関数になるから）対数関数は増加関数であることも、自然な形で理解させることも試みています。

　ここで、常用対数表を用いてあらかじめ準備しておいた値

　　　

を生徒たちに提示します。

	同じ要領で予想をたてながら、電卓やコンピュータを用いて2□＝3を 満たす数□を求めていくと 　　　□＝1.58…… であることが分かります。 　実は、□に入る数は無理数で、有限小数で表されることはありません。 　この□に入る新しい無理数を 　　　　　　　　　　　　log23 と表すことにします。すなわち　log23＝1.58……

　授業の中で、実際に電卓やコンピュータを用いて log₂3 の近似値を求めさせたことはありません。この部分の説明はあまり深入りせず、あっさり通り過ぎた方がよいと思います。
　ただし、累乗根の値を求める機能のついている電卓やコンピュータを利用すると

　　

などの結果から、log₂3＝1.58…… に近づいていくことができます。

　さて、ここまできてはじめて生徒たちに対数の定義を提示します。

	一般に、a を1ではない正の数、b を正の数とするとき ax＝b を満たす実数 x はただ1つ決まるので、この実数 x を logab で表し、a を底とする b の対数といいます。すなわち ax＝b ⇔ x＝ logab 〈例〉2□＝5を満たす数□を □＝log25 とかく。 　　　22＝4，2□＝5，23＝8 であるから 　　　□＝log25 は2と3の間の数、すなわち log25＝2.……

　ほとんどの教科書が、指数関数 y＝a^x のグラフを用いて、この関数が1対1対応であることを確認した後、すぐに対数の定義に入っています。指数関数が1対1対応の関数であるからこそ、その逆関数である対数関数を定義できるわけで、この指数関数の特徴を確認することは数学的に大切なことですが、 2^□＝3 の□に入る数が二つ以上あるのではないかと疑問をもつ生徒はほとんどいません。彼らがつまずくのは log という記号は何を表しているのか？なぜ log という新しい記号を導入する必要があるのかということなのです。そして、そのつまずきの最大の原因は対数が2変数関数であるということだと思います。つまり、三角関数のように1つの数 θ に対して f (θ)＝sinθ の値が1つ対応する1変数関数の場合、新しい記号が登場してもなんとか理解できる生徒も、底 a および真数 b の2つの数に対して log_ab という1つの数が決まるということを理解することがかなり難しい。さらに対数の場合、底 a および真数 b には底条件 (a＞0，a≠1) と真数条件 (b＞0) という制限があるので、機械的に定義を教え込んでも表面的な理解にとどまり定着しません。どういう経緯で対数という数が考案されたのかを振り返ることによって、 log_ab は1つの実数であることを認識させることは対数を理解する上で有効だと感じます。

　対数の定義を定着させる練習問題としては、教科書に掲載されている代表的な問題で十分でしょう。ここでも対数 log_ab が1つの数であることを強調するように心がけています。

	〈例〉20＝1 より 0＝log21　すなわち 　log21＝0 　　　21＝2 より 1＝log22　すなわち　log22＝1 　　　22＝4 より 2＝log24　すなわち　log24＝2

　そして、対数 log_ab が1つの数を表すことが十分定着したと思われた段階で、対数の値を計算する上で基本となる対数の値を紹介します。

	1ではない正の数 a に対して a0＝1 であるから 0＝loga1 a1＝a であるから 1＝logaa すなわち loga1＝0，logaa＝1

　ただし、私はここで必ず次のことにふれます。

	2□＝3を満たす数□を、□＝log23 とかくのだから 　 2 ＝3 となるのは、当たり前だよね。 すなわち、定義より、ax＝b に x＝ logab を代入して a ＝b が常に成り立つ。 〈例〉(1) 3 ＝5 　　　(2) 32 ＝(25) ＝(2 ) 5＝35＝243

　32 の値を計算させる問題では、次のような解答例をよく目にします。

〔解答例〕 　32 ＝x とおくと対数の定義より log23＝log32x …�@ 底の変換公式を用いて 　 であるから、�@は となるから 5log23＝log2x　よって log235＝log2x 真数を比べて　　　　　 x＝35＝243

　この解答例を理解することはもちろん大事なのですが、解法としてあまりにも複雑すぎると考えます。a ＝b は案外いろんなところで役立つ式です。

　最後に、 log₂3 が無理数になることは直感的に理解させるだけで導入の授業ではいつも証明は省略します。しかし、背理法を用いると案外簡単に証明できるので、数学の得意な生徒や理系の生徒たちに「家に帰ったら、チャレンジしてごらん。」と促すと、時々次の時間に自分の証明を持ってくる生徒もいます。

	〔 log23 が無理数であることの証明〕 　log23 が有理数であるとすると、明らかに log23 は正の数であるから 　　　　log23＝（m，nは自然数） とおけます。対数の定義より 　　　　 が成り立つから 2m＝3n …�@ 2n は偶数であるが、3m は奇数であるから、�@は矛盾する。 したがって、 log23 は無理数である。