授業実践記録
確率を用いて円周率を求めてみよう
京都府立久御山高等学校
野村　敏
　
1．はじめに
　雑誌 Newton（ニュートンプレス）の別冊「数学でわかる宇宙と自然の不思議」のなかに「乱数表を用いる一風かわった円周率の計算方法」が紹介されていた。工夫次第では、高校2年生に1時間分の投げ込み教材として利用できるのではないだろうか。
　私は、コンピュータに精通している訳ではないので、表計算ソフトの関数をうまく利用できるかどうか、最後まで不安が残った。実験段階では、π＝3.14 の予想値を の位で下回ることが多かったので補正を加えることにしたが、ほとんど力ずくの方法で計算した。結果的には、高校生にも十分理解できる考え方・数式を用いて円周率の近似値を求めることができたと思う。
　このレポートには、まだまだ改良しなければならないところがあるだろう。ご意見等をいただければ幸いである。
　
2．概要
1） 表計算ソフト Excel を用いて乱数を発生させ、（x 座標，y 座標）のペアを10000点作成する。ただし、それぞれの範囲は −100≦ x ≦100, −100≦ y ≦100 とした。
2） 1）で作成した10000点を右の座標平面の中にすべてプロットする。
3） 10000個の点は無作為に選ばれたものであるから、正方形の座標の中に一様に分布していると考えることができる。
　一様に分布しているのなら
「10000の点と円内にある点の数の比」は「正方形の面積と円の面積比」
に近い数値となるはずである。
　　　　よって、

　　　　正方形内の点の数（＝10000）：円内の点の数
　　　＝正方形の面積：円の面積
　　　

という関係を導き出すことができる。
　ただし、π の定義と円の面積を求める公式 S＝πr2 の関係については、3．準備のところで説明する。
　
3．準備
《円周率 π の定義と円の面積》

　「トイレットペーパーの長さを求める問題」として、かなり有名になった方法がある。この方法の原点は、近代初期の数学者カヴァリエが考え出したということだ。
　紐をぐるぐるに巻いて円を作り、真上から中心に向かってナイフを入れる。あらかじめ、底辺のところに棒を一本セットしておくと、紐を一本一本開いたときに、下図のような二等辺三角形ができることがわかる。

　r を半径、l を円周とする。
　まず、円周率 π を“直径に対する円周の比”
　　　
と定義する。
　円と等積の二等辺三角形の底辺は円周 l 、つまり2πr であり、高さは r だから、円の面積 S は、

　　　　

と、求めることができる。
　高校3年生ぐらいになると、極限の話とか、弧度法を使った扇形の面積が で求められることとも関連づけることができる。

《乱数の発生》

　Excel の関数は RANDBETWEEN（最小値，最大値）を用いた。No.1からNo.10000までの（ x 座標，y 座標）には −100≦ x ≦100, −100≦ y ≦100 の範囲で乱数を発生させたかったので、どのセルにも RANDBETWEEN（−100，100）と書き込んである。

《点のプロット》

　発生させた乱数で作成した10000点の座標は、実際にはプロットせず、Excel の関数を用いて数え上げた。

《Excelを用いての表計算》

　Excel「円周率の計算」はこちらから。
※1.6MBありますのでインターネット接続環境（ダウンロード速度）をご確認の上、ダウンロードして下さい。

1） 距離の欄には（x 座標）2＋（ y 座標）2 ＝（距離）2
が計算され、記入されている。
2） 「10000未満」の欄は「円内の点の個数」
COUNTIF(D2:D10001，<10000)　で10000点のうち、中心からの距離が100以下の点の個数を調べている。
3） 「10000ちょうど」の欄は「円周上の点の個数」
COUNTIF(D2:D10001，=10000) で10000点のうち、中心からの距離が100ちょうどの点の個数を調べている。
後で円周上の点は 0.5個 として補正するために使う。
4） 「 x 座標100」「 x 座標−100」「 y 座標100」「 y 座標−100」「20000ちょうど（正方形の四隅）」「正方形周上」の欄は正方形の周上の点を 0.5個 と補正するために使う。
n（正方形周上）＝n（ x 座標100）＋n（ x 座標−100）
＋n（ y 座標100）＋n（ y 座標−100）−n（20000ちょうど）
5） 正方形内の点の数：円内の点の数＝4：π　より
4×円内の点の数＝π×正方形内の点の数
よって
6） これらのことにより、円周率を、
　　
の計算式で求めることができる。
7） F9 を押すと別の乱数を発生させることができ、新たに「円周率」を求めることができる。