授業実践記録

（上被乗数）
（中積）
（下乗数）

3×8＝24
8の上におく

乗数28を1桁下げる

6×2＝12
12を2の上におく

6×8＝48
48を8の上におく

乗数28を1桁下げる

4×2＝8
8を2の上におく

4×8＝32
32を8の上におく

授業実践記録
計算法の発達
長野県松本筑摩高等学校　通信制課程橋爪正男

はじめに

2シリング硬貨

　通貨単位は10進法が大変便利であるが、かつてのイギリスでは、ミュージカル「マイ・フェア・レディー」にもあるように1ポンド＝20シリング、1シリング＝12ペンスで、20進法と12進法が入り交じった複雑なものだった。こんな中で、50￡札で、13￡14S9Pの買い物をした時のお釣りの計算はすぐ出てくるだろうか…。
　今日では計算をするときに、計算道具として電卓を用いることが多いが、もちろん簡単な計算は暗算でもでき、つい最近まで、そろばん（珠算）を使ってもいた。
　ここでは、算木による計算、中世西欧社会での計算、2進法による計算方法について紹介したい。　　

1．算木による乗除の計算

　中国宋末、元初に発達した計算方法には天元術とよばれる、紙に碁盤目状の線を引いたものを用い、そのマス目に算木（竹や木で作った棒で、10cmから20cmぐらいの長さ、太さ3mm～5mm）を何本か用いて計算する方法もあった。

（1）乗法　364×28　の計算
　　（算木配置図）
これを、現代風に算用数字を用いて計算をする。

（2）除法　10204÷28　の計算
　　　（算木配置図）数字0の部分には、算木をおかずに空けておく。
　　　　　　　　　　

2．中世西欧社会での計算方法

　乗法計算に三角関数表を用いて計算をしていた時期もあった。たった1回だけの乗法計算のために、足し算と引き算を繰り返しすることの煩わしさ、また乗法はできても、除法には使えないことの不便さなどにより、この三角関数を用いた計算は、やがて対数計算に置き換わっていくことになった。
　例　5248×325

　三角関数の加法定理から導き出される、積を和に直す公式

　　cos x cos y = { cos (x + y ) + cos (x - y )} を用いる。

　5248×325
　　=0.5248×10⁴×0.3250×10³　　=0.5248×0.3250×10⁷　　= cos x cos y ×10⁷

とおくと、0.5248= cos x　　x ≒1.018
　　　　　0.3250= cos y　　y ≒1.240　　だから
　　　　x + y = 2.258　　　 cos (x + y ) = -0.6344
　　　　x - y = -0.222　　　 cos (x - y ) =0.9755　　　となる。
　　　5248×325= cos x cos y ×10⁷= { cos (x + y ) + cos (x - y )} ×10⁷　　　　　　　　＝ { cos (2.258) + cos (-0.222)} ×10⁷　　　　　　　　＝ { -0.6344 + 0.9755} ×10⁷＝0.1706×10⁷　　　　　　　　＝1706000

例　

　　　　log = log 2.951-log 1.247≒0.4699-0.0958=0.3741=log 2.37

　　　　　　　　よって　約2.37

3．2進法による計算

　2進法は、全ての桁の数を0と1を基にした数値で表現され、コンピュータでの演算に用いられる。この発想を利用して、35×18の計算を、次のようにすることができる。

　35の側は2で割り、余りは捨て商だけを下に書いていき、1になるまで書く。18の側は2をかけていく。そして左側の商が偶数になる行は消して、右側の残った数を合計すれば答えが得られる。
　これは

　　35×18
　　=(1×2⁵+0×2⁴+0×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰)×18
　　=(2⁵+2¹+2⁰)×18

を計算している。