１．教材について
「○○であることを証明せよ」と結論が与えられた証明問題は，生徒にとって味気ないものであり，証明を学習し始めたばかりの生徒にとっては，証明の必要性や考えることの面白さを感じないまま，ただ機械的に（まるで計算をするように）証明していることが多い。平成９年度の教科書（啓林館）では，「図形と合同」の単元で中点連結定理が取り扱われることになったが，この定理のすばらしさや利用範囲の広さを考えれば，この単元の最後に扱うのがふさわしいと，以前から思っていた。
本実践は，このような考えのもとに平成７年度に行ったものであり，生徒が少しでも発見する喜びや考えることの楽しさ，図形の不思議さ，定理のすばらしさに気づいてくれればと思いつつ取り組んだ。
２．単元計画
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| (1) | 単元名 図形と合同(２年) |
| (2) | 指導時数(全24時間)
二等辺三角形・・・・５時間
直角三角形・・・・・３時間
平行四辺形・・・・・５.５時間
長方形とひし形・・・２.５時間
中点連結定理・・・・３時間（第２，３時は課題学習的に行った）
平行線と面積・・・・２時間
問 題・・・・・・・２時間 |
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３．授業の概要
＜第１時＞
課題提示
適当に△ＡＢＣをかき，辺ＡＢ，ＡＣの中点Ｍ，Ｎを結ぶと，ＭＮとＢＣの関係はどうなっているのだろう。
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〔生徒の反応〕
| ○ | 見た感じや実測から，ＢＣがＭＮの であることは，ほぼ全員が見つけていた。 |
| ○ | ＭＮ ＢＣに気がつかない生徒もいたが，「まだあるんだけどなあ」という発言があり，定規を使って確かめた。 |
中点連結定理
△ＡＢＣの２辺ＡＢ，ＡＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとすると，
ＭＮＢＣ，ＭＮ＝ＢＣ
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中点連結定理の説明とその証明(教科書ｐ.134)は指導者が行った。生徒自身がこの証明をできるようにするというよりは，証明の方向性（平行四辺形になる条件と性質を用いること）がわかればよいと考えた。
課題提示(定理の利用)
ＢＣの中点をＬとして，３つの中点Ｍ，Ｎ，Ｌを結ぶと，どんなことが発見できるだろう。
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| Ｓ | 中点連結定理が使えて，ＭＬ，ＬＭはＡＣ，ＡＢと平行で長さが |
| Ｓ | ３辺の長さがそれぞれ等しくなるから，△ＭＬＮと残り３つの三角形は合同になる。結局，４つの三角形は合同になる。 |
| Ｓ | △ＡＢＣの面積は，小さい三角形の面積の４倍になっている。 |
| Ｓ | １組の向かい合う辺が，等しくて平行(２組の向かい合う辺が等しい。あるいは平行)だから，６つの平行四辺形ができる。 |
| Ｓ | 平行四辺形の面積は小さい三角形の面積の２倍で，大きい三角形の面積の
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＜第２時＞
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| Ｔ | 今日は，中点連結定理を使って，四角形に潜む秘密を探ってみよう。
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課題提示
適当に四角形ＡＢＣＤをかき，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡの中点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓとすると，４つの中点を結んでできる四角形ＰＱＲＳはどんな四角形だろう。 |
〔生徒の反応〕
| ○ | かいた図を見て，平行四辺形になると判断したり，長さを測ったり，辺の関係を調べて判断したりしていた。生徒の中には，長方形，ひし形になるようだと考えている者もいた。
| Ｓ | 見た感じは，平行四辺形に見える。 |
| Ｓ | 僕のはひし形に近い。 |
| Ｓ | 私のは，長方形のように見える。 |
| Ｓ | ひし形も長方形も平行四辺形の仲間だから，特別なときだけ，ひし形や長方形になると思う。 |
| Ｔ | それでは，中の四角形が必ず平行四辺形になることを証明してから，中の四角形がひし形や長方形になるのは，どんな場合か考えてみよう。 |
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| ○ | しばらく時間を与えてから，生徒に発表させた。「中点を結んでいるから，三角形の中点連結定理を使えばできそうだ」と言う生徒の発言を手がかりにして，生徒は考えていた。
| Ｓ | ＢＤを結ぶと中点連結定理が使え，ＰＳＢＤ,ＰＳ＝ＢＤ,ＱＲＢＤ,ＱＲ＝ＢＤ
だから，ＰＳＱＲ，ＰＳ＝ＱＲ よって，四角形ＰＱＲＳは平行四辺形 | |
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| ○ | ＰＳＱＲ，ＰＱＳＲやＰＳ＝ＱＲ，ＰＱ＝ＳＲを用いた考えも出された。
| Ｔ | 中の四角形は必ず平行四辺形になることは確かめられたから，中にひし形や長方形ができる場合を考えてみよう。 |
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| ○ | 外の四角形を長方形やひし形，正方形にして考えている生徒がほとんどであった。最初の課題で，中の四角形が長方形やひし形のような形になった生徒の中には，これら以外の場合でも，中の四角形が長方形やひし形になりそうだと考え始める者もいた。
| Ｓ | 外の四角形が長方形のときは中の四角形はひし形で，外がひし形のときは中は長方形になる。 |
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| Ｓ | 外の四角形が正方形のときは，中の四角形も正方形 |
| S1 | 僕が初めにかいた四角形は，どう見てもひし形に見えないけど，中の四角形は長方形に見える(板書)。 |
| S2 | 私のは，中の四角形がひし形に見える。 |
| S3 | S1の図を見て思いついたんだけど，ひし形を下に伸ばしたようなときでも，中の四角形は長方形になると思う。 |
| S4 | 先に長方形をかいて，外に四角形をかいたら，いっぱいかけるのと違う？ |
| | ○ | S3，S4の発言を各自確かめていた。 |
＜第３時＞
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外の四角形がどんな四角形だと，中の四角形は長方形になるのだろう。 |
〔生徒の反応〕
| ○ | いくつかの図をながめたり，辺や角を測って調べたりしていたが，行き詰まっている生徒が多かった。そのようなとき，次のような考えが出された。
| S5 | 対角線に関係があるのと違う？ |
| Ｓ | どうしてそう思ったの？ |
| S5 | 何となく・・・。 |
| S6 | 対角線が垂直に交わっている。 |
| S3 | 僕の場合でもそうなっている。 |
| S4 | 対角線が垂直に交わるような外の四角形をかけば，中の四角形は長方形になる。
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| ○ | S4の考えを各自確かめていた。
| Ｔ | 外の四角形の対角線が垂直に交わっていると，中の四角形は長方形になりそうだけど，誰か証明できるかなあ。 |
| S5 |
中の四角形は必ず平行四辺形になることはわかっているから，角が90 になることをいえばいい。対角線と中の四角形の辺は平行だから，○＝△(同位角) △＝×(錯角)で○＝× ○＝90 だから，×＝90 全部の角も90になる。
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| 外の四角形がどんな四角形だと，中の四角形はひし形になるのだろう。 |
〔生徒の反応〕
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| Ｓ | きっと，対角線に関係があると思う。 |
| Ｓ | 今度は，長さと違う？ |
| S6 | 中の四角形の辺は対角線の半分だから，対角線の長さが同じだと４つの辺が同じになるはずだ。 |
| Ｓ | 対角線の長さが同じように外の四角形をかいて，また調べればいい。 |
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| ○ | 各自調べていた。中には，S6の考えを使って証明している生徒もいた。
| Ｔ | 誰か，証明してくれるかなあ。 |
| S6 |
中の四角形の辺は対角線の半分だから○と●で，○○と●●は同じだから○と●も同じ。
だから，４つの辺が等しくなる。 |
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中の四角形が正方形になる場合について各自にまとめさせた後，中の四角形が長方形かひし形ならば，対角線の長さは等しいか，対角線は垂直に交わるか，について考えさせた。
４．おわりに
本教材は教科書の問題を基にしたものであり，決して目新しいものではない。また，この授業は課題学習的に取り扱っているので，証明ができるかどうかというよりはむしろ，生徒が発見する過程に重点をおき，その過程の生徒の考えを大切にしたつもりである。
本授業で取り扱った中点連結定理は，平行線と線分の比の特別な場合として，台形の中点連結定理として，また，その面積の公式との関係について，三角形の重心へと，今後学習する場面で広く活用できると考えている。
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