2020年度用 中学校数学教科書内容解説資料　未来へひろがる数学

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39151056右の図のように，円周上の3点A，B，Cを頂点とする△ABCがあります。∠BACの二等分線が，辺BC， BC%と交わる点を，それぞれ，D，Eとするとき，　　△ABE∽△BDEであることを証明しなさい。ABCDE72点A，Bで交わる2円O，O'があります。点Bを通る2直線が，右の図のように，円O，O'と，それぞれ，点C，Dおよび点E，Fで交わっているとき，　　△ACD∽△AEFであることを証明しなさい。ABCDEFOO’8右の図のように，円Oの周上の1点Aから2つの弦げんAP，AQをひき，それぞれの中点をM，Nとします。このとき，4点A，O，M，Nは同じ円周上にあることを証明しなさい。AOMNPQ論証の基礎20151051節　平行と合同　105下の図の三角形を，合同な三角形の組に分けなさい。また，そのとき使った合同条件をいいなさい。問4右の図で，線分ABとCDが，　　AE=DE，　　CE=BEとなるように，点Eで交わっています。この図で，合同な三角形の組を，記号≡を使って表しなさい。また，そのとき使った合同条件をいいなさい。問5　これまでに調べたことから，次のことがいえます。三角形の合同条件　2つの三角形は，次の各場合に合同である。❶　3組の辺　が，それぞれ等しい　　とき　　　a=a'，b=b'，c=c'❷　2組の辺とその間の角　が，　　それぞれ等しいとき　　　a=a'，c=c'　∠B=∠B'❸　1組の辺とその両りょう端たんの角　が，　　それぞれ等しいとき　　　a=a'，　∠B=∠B'，∠C=∠C'BACaBACacA’B’a’c’C’A’B’a’C’BAA’CacbB’a’c’b’C’ADCBE3cm4cm3cm3cm4cm4cm3cm3cm3cm4cm2cm3cm2cm70°70°50°50°40°50°70°40°㋐㋑㋒㋓㋔㋕㋖31p.17232p.1732015105FEFE1節　図形と相似　121　これまでに調べたことから，次のことがいえます。　△ABCと△DEFで，　⑴　AB：DE=BC：EF=CA：FDならば，△ABC∽△DEF　⑵　AB：DE=BC：EF，∠B=∠Eならば，△ABC∽△DEF　⑶　∠B=∠E，∠C=∠Fならば，△ABC∽△DEF三角形の相似条件　2つの三角形は，次の各場合に相似である。❶　3組の辺の比　が，すべて　　等しいとき　　　a：a'=b：b'=c：c'❷　2組の辺の比とその間の角　が，　　それぞれ等しいとき　　　a：a'=c：c'　∠B=∠B'❸　2組の角　が，それぞれ　　等しいとき　　　∠B=∠B'，∠C=∠C'前ページの△DEFを，イ，ウの方法でかきなさい。イ　 　　　ウ　問1上の⑴で，AB：DE=BC：EF=CA：FDは，3つの比AB：DE，BC：EF，CA：FDがすべて等しいことを表しています。BAA’CacbB’a’c’b’C’BAA’CacB’a’c’C’BAA’CB’C’ウの方法では，辺の比に関係なく，2組の角が等しければ相似になるね△DEF△DEF三角形の合同条件とくらべてみようA’A’A2年3年学年別の内容紹介3年3年生図形領域では，大きく分けて「図形と相似」，「円の性質」，「三平方の定理」の3つの内容があります。これらの配列についてはいくつかのパターンが考えられますが，この教科書では次の❶～❸に配慮して図形と相似→円の性質→三平方の定理の順に単元を配列しています。112233学びのつながりを大切にし，時間配当や入試のことにも配慮した構成論証の基礎を先に学び，図形の性質を明らかにしていく展開（5章図形と相似，6章円の性質）2年の図形学習とのスムーズな接続入試を控えた３年生のことを考えた配列2年の図形の学習は合同条件を使って図形の性質を証明するところで終わっています。そして，その合同条件と相似条件は関連も深く，図形の性質を証明する際の根拠として，どちらも基礎・基本となる内容です。これらを3年の図形学習のはじめに身につけた上で，円の性質や三平方の定理へと進み，新たな図形の性質を見いだしていく自然な構成にしています。現在の学習指導要領では「相似な図形の面積」，「相似な立体の表面積・体積」が追加され，図形と相似に関連する学習内容が非常に多くなっています。入試を控えた3年生の場合，このように分量の大きい単元を早い時期に扱うほうが，全体として柔軟に時間配当を行うことができるメリットがあります。また，三平方の定理は，入試問題にもそれを用いる出題が多いので，入試に近い時期に学習できるようにしています。3年本冊p.170●「円の性質」の中で相似と　円の融合問題を扱う2年本冊p.1053年本冊p.121●三角形の合同条件●三角形の相似条件3章　二次方程式1節 二次方程式 ..................................................... 64 ▢1 二次方程式とその解き方 .................... 66 ▢2 二次方程式の解の公式 ....................... 70 ▢3 二次方程式と因数分解 ........................ 732節 二次方程式の利用 ................................... 77 ▢1 二次方程式の利用 ................................. 781章　式の展開と因数分解1節 式の展開と因数分解 ............................. 12 ▢1 式の乗法，除法 ....................................... 14 ▢2 乗法の公式 ................................................. 18 ▢3 素因数分解 ................................................ 22 ▢4 因数分解 ...................................................... 242節 式の計算の利用 ......................................... 31 ▢1 式の計算の利用 ...................................... 322章　平方根1節 平方根 ................................................................ 40 ▢1 平方根 ........................................................... 42 ▢2 平方根の値 ................................................. 46 ▢3 有理数と無理数 ....................................... 482節 根号をふくむ式の計算 ....................... 50 ▢1 根号をふくむ式の乗法，除法 ......... 51 ▢2 根号をふくむ式の計算 ........................ 563節 平方根の利用 ............................................... 59 ▢1 平方根の利用 ........................................... 596章　円の性質1節 円周角と中心角 ...................................... 154 ▢1 円周角と中心角 ..................................... 156 ▢2 円周角の定理の逆 ............................... 1612節 円の性質の利用 ...................................... 164 ▢1 円の性質の利用 .................................. 1655章　図形と相似1節 図形と相似 .................................................. 114 ▢1 相似な図形 .............................................. 116 ▢2 三角形の相似条件 ............................... 120 ▢3 相似条件と証明 ..................................... 1232節 平行線と線分の比 ................................ 126 ▢1 平行線と線分の比 ................................ 127 ▢2 中点連結定理 ......................................... 1363節 相似な図形の計量 ................................ 138 ▢1 相似な図形の面積 ............................. 139 ▢2 相似な立体の表面積・体積 ........... 1424節 相似の利用 .................................................. 146 ▢1 相似の利用 ............................................ 1474章　関数y=ax21節 関数とグラフ ............................................... 86 ▢1 関数y=ax2 ............................................... 88 ▢2 関数y=ax2のグラフ ........................... 912節 関数y=ax2の値の変化 .................. 98 ▢1 関数y=ax2の値の増減と変域 ...... 99 ▢2 関数y=ax2の変化の割合 ............ 1023節 いろいろな事象と関数 .................... 106 ▢1 関数y=ax2の利用 ......................... 107 ▢2 いろいろな関数 ..................................... 10823章　二次方程式1節 二次方程式 ..................................................... 64 ▢1 二次方程式とその解き方 .................... 66 ▢2 二次方程式の解の公式 ....................... 70 ▢3 二次方程式と因数分解 ........................ 732節 二次方程式の利用 ................................... 77 ▢1 二次方程式の利用 ................................. 78 ▢1 平方根 ........................................................... 42 ▢2 平方根の値 ................................................. 46 ▢3 有理数と無理数 ....................................... 482節 根号をふくむ式の計算 ....................... 50 ▢1 根号をふくむ式の乗法，除法 ......... 51 ▢2 根号をふくむ式の計算 ........................ 563節 平方根の利用 ............................................... 59 ▢1 平方根の利用 ........................................... 596章　円の性質1節 円周角と中心角 ...................................... 154 ▢1 円周角と中心角 ..................................... 156 ▢2 円周角の定理の逆 ............................... 1612節 円の性質の利用 ...................................... 164 ▢1 円の性質の利用 .................................. 1655章　図形と相似1節 図形と相似 .................................................. 114 ▢1 相似な図形 .............................................. 116 ▢2 三角形の相似条件 ............................... 120 ▢3 相似条件と証明 ..................................... 1232節 平行線と線分の比 ................................ 126 ▢1 平行線と線分の比 ................................ 127 ▢2 中点連結定理 ......................................... 1363節 相似な図形の計量 ................................ 138 ▢1 相似な図形の面積 ............................. 139 ▢2 相似な立体の表面積・体積 ........... 1424節 相似の利用 .................................................. 146 ▢1 相似の利用 ............................................ 14723章　二次方程式1節 二次方程式 ..................................................... 64 ▢1 二次方程式とその解き方 .................... 66 ▢2 二次方程式の解の公式 ....................... 70 ▢3 二次方程式と因数分解 ........................ 732節 二次方程式の利用 ................................... 77 ▢1 二次方程式の利用 ................................. 781章　式の展開と因数分解1節 式の展開と因数分解 ............................. 12 ▢1 式の乗法，除法 ....................................... 14 ▢2 乗法の公式 ................................................. 18 ▢3 素因数分解 ................................................ 22 ▢4 因数分解 ...................................................... 242節 式の計算の利用 ......................................... 31 ▢1 式の計算の利用 ...................................... 322章　平方根1節 平方根 ................................................................ 40 ▢1 平方根 ........................................................... 42 ▢2 平方根の値 ................................................. 46 ▢3 有理数と無理数 ....................................... 482節 根号をふくむ式の計算 ....................... 50 ▢1 根号をふくむ式の乗法，除法 ......... 51 ▢2 根号をふくむ式の計算 ........................ 563節 平方根の利用 ............................................... 59 ▢1 平方根の利用 ........................................... 597章　三平方の定理1節 三平方の定理 ............................................ 172 ▢1 三平方の定理 ......................................... 1742節 三平方の定理の利用 .......................... 180 ▢1 平面図形への利用 ............................. 181 ▢2 空間図形への利用 ............................. 1868章　標本調査1節 標本調査 ........................................................ 194 ▢1 標本調査 ................................................... 196 ▢2 標本調査の活用 .................................... 2026章　円の性質1節 円周角と中心角 ...................................... 154 ▢1 円周角と中心角 ..................................... 156 ▢2 円周角の定理の逆 ............................... 1612節 円の性質の利用 ...................................... 164 ▢1 円の性質の利用 .................................. 1655章　図形と相似1節 図形と相似 .................................................. 114 ▢1 相似な図形 .............................................. 116 ▢2 三角形の相似条件 ............................... 120 ▢3 相似条件と証明 ..................................... 1232節 平行線と線分の比 ................................ 126 ▢1 平行線と線分の比 ................................ 127 ▢2 中点連結定理 ......................................... 1363節 相似な図形の計量 ................................ 138 ▢1 相似な図形の面積 ............................. 139 ▢2 相似な立体の表面積・体積 ........... 1424節 相似の利用 .................................................. 146 ▢1 相似の利用 ............................................ 147目 次4章　関数y=ax21節 関数とグラフ ............................................... 86 ▢1 関数y=ax2 ............................................... 88 ▢2 関数y=ax2のグラフ ........................... 912節 関数y=ax2の値の変化 .................. 98 ▢1 関数y=ax2の値の増減と変域 ...... 99 ▢2 関数y=ax2の変化の割合 ............ 1023節 いろいろな事象と関数 .................... 106 ▢1 関数y=ax2の利用 ......................... 107 ▢2 いろいろな関数 ..................................... 108力く３数ひ数さ「応やにま数学展望台素数ゼミ ........................................................................... 30エラトステネスのふるい ........................................ 39平方根の値の覚え方 .................................................. 47循環小数と分数 ............................................................ 49ディオファントスの考えた解き方 .................... 82ソーラークッカー .................................................... 113平行線と線分の比の性質の利用……………… 135相似を利用した作図…………………………………… 153タレスと円…………………………………………………… 1633，4，5 の直角三角形……………………………… 179三角定規の秘密…………………………………………… 185選挙結果の予測…………………………………………… 201アンケートの質問事項……………………………… 203国勢調査……………………………………………………… 2061234567レ全船富学年間のスムーズな接続相似の内容は，円の性質とも関連する部分があるので，それらの融合問題もぜひ扱いたいところです。5章図形と相似を先に学ぶので，相似と円の融合問題はその直後の6章円の性質で扱います。これにより相似の学習内容が膨らむことを避け，時間配当の上でも，学習する生徒への負担感が減るように配慮しています。相似の学習負担を軽減するために工夫した配列