数学トピックQ&A
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対称式
Q 　因数分解の公式 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x−a)(x−b)の使い方は，a，b の和と積に着目して，
　たとえば，x2＋5x＋6 では，a＋b＝5ab＝6をみたす　a，b は，a が2，b が3だから，x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)としますが，a が3，b が2としてもよい．
　これには，何かしら納得いかないことがあります．どうして a，b の値が2通りあってどちらでもよいのでしょうか．
A 　それは a＋b，ab の形にあるのです．a＋b で，a をb に，b をa に変えるとどんな式になりますか．
Q 　a＋b はb＋a になり，同じ式です．ab もba になるが同じ式ですね．ここに秘密があったのですか．
A 　そうです．a をb に，b をa に変えても同じ式になるような式は他にもあります．
　たとえば，a2 ＋b2 ，，a3 ＋b3 などいくらでも作れます．
　このような式を対称式といいます．a＋b とab は，対称式の中でも，特に基本的なものという意味で，基本対称式といいます．
　3つの文字a，b，c についても同じように，a をb に，b をc に，c をa に変えても同じ式になるものを対称式といいます．
　たとえば，a2 ＋b2 ＋c2，，a3 ＋b3 ＋c3などがあります．
　基本対称式は a ＋b ＋c，ab ＋bc ＋ca，abc です．
　これは高校生では難しいですが「どんな対称式でも基本対称式で表される」ことがいえるのです．
Q 　「対称式が基本対称式で表される」とはどんなことですか．
A 　例題で考えてみましょう．
　a2 ＋b2 ＝(a＋b)2 −2ab だから，
　p ＝a＋b，q ＝ab とおくと，a2 ＋b2 ＝p2 −2q となって，
　a2 ＋b2 は p，q で表されています．

　では，p ＝a＋b＋c，q ＝ab ＋bc ＋ca，r ＝abc とおいて，
　a3 ＋b3 ＋c3 を，p，q，r で表してみてください．
Q 　(a ＋b ＋c)3 の計算をするとなると，大変だ．
A 　次の式が成り立つことを確かめて使ってみてください．
　　　a3 ＋b3 ＋c3 −3abc＝(a ＋b ＋c)(a2 ＋b2 ＋c2 −ab −bc −ca)……[1]
Q 　(a ＋b ＋c)2 ＝a2 ＋b2 ＋c2 ＋2ab ＋2bc ＋2ca だから，[1] は，
　　　a3 ＋b3 ＋c3 ＝(a ＋b ＋c){(a ＋b ＋c)2 −3(ab ＋bc ＋ca)} ＋3abc
　となって，
　　　a3 ＋b3 ＋c3 ＝p(p2−3q)＋3r
　　　　　　　　　＝p3−3pq＋3r
　対称式が基本対称式で表されることの意味がわかりました．
A 　置き換えの対称性という視点で式を見ると，式の美しさのようなものが見えてくるでしょう．