知っていると便利な情報をお教えしよう．
α を重解にもつ方程式 (x−α)2＝0 を変形すると，
x2−2αx＋α2＝0
x2＝2αx−α2
したがって，放物線 y＝x2 の点A(α，α2) における接線の方程式は
y＝2αx−α2
である．
数学はこれくらい自由に発想したいものである．
しかし，体制内にあってはこれは「正しいやりかたではない」と非難されそうである．
少なくとも結果は正しい．
次のように説明したらどうだろうか．
放物線 y＝x2 の点A(α，α2)における接線の方程式を y＝px＋q とすると，2次方程式
x2＝px＋q
は α を重解にもつ方程式 (x−α)2＝0 に変形できる．したがって，恒等式
x2−px−q＝(x−α)2
が成り立つ．
よって， px＋q＝2αx−α2 (これも恒等式)であり，接線の方程式は y＝2αx−α2 である．
しかし，強硬な人はこれでも「正しいやりかたではない」と非難する．また，非難しないまでも自信を持って「その通り」と支持してくれる人は少ない．
最初に述べたことがらはしっかり覚えておいて，こっそり使う方が無難である．
次に，放物線 y＝ax2 (a≠0) の接線を考えてみよう．
放物線 y＝ax2 上の点A の x 座標を α とする．
α を重解にもつ方程式 a (x−α)2＝0 を変形すると，
ax2−2a α x＋a α2＝0
ax2＝2a α x−a α2
したがって，放物線 y＝ax2 の点Aにおける接線の方程式は
y＝2a α x−a α2
である．
|
さらに，放物線 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) の接線を考えてみよう．
放物線 y＝ax2＋bx＋c 上の点A の x 座標を α とする．
α を重解にもつ方程式 a ( x−α)2＝0 を変形すると，
ax2−2a α x＋a α2＝0
ax2＝2a α x−a α2
ax2＋bx＋c＝(2a α＋b)x−a α2＋c
したがって，放物線 y＝ax2＋bx＋c の点A における接線の方程式は
y＝(2a α＋b)x−a α2＋c
である．
|
同様のアイデアは次の場面でも使える．
放物線 y＝ax2＋bx＋c 上の2点A，B の x 座標をそれぞれ α，β とする．
α，β を重解にもつ方程式 a (x−α) (x−β)＝0 を変形すると，
ax2−a (α＋β)x＋a α β＝0
ax2＝a (α＋β)x−a α β
ax2＋bx＋c＝(a α＋a β＋b)x−a α β＋c
したがって，放物線 y＝ax2＋bx＋c 上の2点A，B を通る直線の方程式は
y＝(a α＋a β＋b)x−a α β＋c
である．
|
(注) α＝β のときは上の方程式は接線の方程式になる．
|
