授業実践記録
方べきの定理の逆
大阪府立茨木高等学校
近藤忠彦
（画像をクリックすると絵が動きます）
　平成15年度から始まる新教育課程の学習指導要領（数学）においては，数学 A の中に平面図形という項目ができ，数学 A 選択者の全員が学習することになりました．中学校からの移行内容も多くありますが，旧課程の数学 A の平面幾何からの部分も含まれています．
　私自身は，旧課程の平面幾何の部分は一度だけ1年生全員に教えたことがあります．センター試験のベクトルの部分で，チェバやメネラウスの定理を知っておく方がよいだろうということで，その部分だけではなく，平面幾何の最初からチェバやメネラウスの定理ぐらいまでを教えました．
　最初は，何をどのように教えればよいのか全くわからず，教科書だけが頼りでした．図形的な感覚は私よりも，生徒達の方があるような気もしました．
　一通り学習を終えて感じたことですが，三角形についての部分，例えば外心・内心・重心・垂心・傍心については，なかなかむずかしく感じて，生徒達にとってはいやだったようです．私としては，『方べきの定理』や『方べきの定理の逆』を使った証明の方が難しいのではないかなあと思っていたのですが，生徒達はこちらの方が気にいってくれたみたいです．
　ですから，こちらの方の授業報告をさせてもらいます．

方べきの定理
( I ) 点Pを通る2直線が，与えられた円と点A，Bおよび点C，Dで交わるとき，次の式が成り立つ．

PA・PB＝PC・PD



( II ) 円の弦ABの延長上の点Pから円に引いた接線をPTとするとき，次の式が成り立つ．

PA・PB＝PT2

方べきの定理の逆
( I ) 2つの線分ABとCD，または，それらの延長どうしが点Pで交わり，
　　　PA・PB＝PC・PD
が成り立つならば，4点A，B，C，Dは同一円周上にある．

( II ) 円の弦ABの延長上の点Pとその周上の点Tに対して，
　　　PA・PB＝PT2
が成り立つならば，PTはこの円に接する．

　ここでは，この2つの定理の証明は省略します．次に『方べきの定理の逆』を使って，図形の証明問題をした授業をふり返ってみたいと思います．

例題1
　2点 A，B で交わる2円があり，線分BAの延長上に点Pがある．P を通る直線が一方の円と2点で交わり，P を通る別の直線が他方の円と2点で交わるとき，これら4点が同一円周上にあることを証明せよ．

　まず，図形を実際にかかせて，下の図のように直線と円との交点を C，D，E，F とし，その4点 C，D，E，F を通る円を赤色で書かせました．

　これで具体的に何をするのかが見えてきました．何かを証明する時に，生徒達はイメージができない問題に対しては，どうも拒否反応が強いようです．
　次に，『方べきの定理の逆』の（ I ）を思い出させて，4点 C，D，E，F が同一円周上（赤い円上）にあることをいうには，PC・PD＝PE・PF がいえればよいということに気付かせました．
　あとは，使っていない条件を見てみようということで，1つの円と2直線の関係より，

PA・PB＝PC・PD，　　PA・PB＝PE・PF

を導き，ここまでくれば納得してくれました．
　さらに，生徒達の練習として，同じような問題ですが，少しだけ2円の位置を変えた問題を与えました．基本の方針が同じなので，気が付く生徒は，すぐにわかったようでした．

練習(1)
　右の図のように，点 T で外接する2円がある．
　この点における2円の共通接線上に点Pをとり，Pを通る2直線が2円とそれぞれ2点A，BとC，Dで交わっている．
　このとき，4点 A，B，C，D は同一円周上にあることを証明せよ．

　PA・PB＝PC・PD を証明すればいいんだなあということは，すぐに理解できますが，2円が接するので，『方べきの定理』の（ II ）を思いつくかどうかです．
　思いつかなければ，ヒントとして教えてあげると，すぐに，

PA・PB＝PT2，PC・PD＝PT2

と気付きスムーズにいくようです．
　最後に，少しだけむずかしい問題にチャレンジしました．4点が同一円周上にあるということは，どういうことをいえばよいのかが理解できた生徒は，興味深く解いていました．

問題1
　図のように，4点 A，B，C，Dは同一円周上にある．AB と CD との交点を E，AD と BC との交点を P とする．
　いま，PD・PA＝PF・PE になるような点 F を EP 上にとるとき，4点 B，E，F，C が同一円周上にあることを証明せよ．

　ここでは，方べきの定理より，
　PD・PA＝PC・PB が導けるかどうかだと思います．あとは条件より PD・PA＝PF・PE となり，PF・PE=PC・PB だから，『方べきの定理の逆』から，4点 B，E，F，C が同一円周上にあることがいえます．生徒に4点を通る円をまずかかせると，何をいえば証明ができるかがより見えやすくなるはずです．
　何か図形の美しい証明をしたなあと感じるような授業の1コマでした．